„Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér” változatai közötti eltérés
26. sor: | 26. sor: | ||
$$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} $$ | $$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} $$ | ||
− | A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $z$ irányú komponensek összegződnek. A $dE$ térerősség függőleges komponense: | + | A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $z$ irányú komponensek összegződnek. A $dE$ térerősség függőleges komponense: |
$$dE_{z}=dEcos(\theta)$$ | $$dE_{z}=dEcos(\theta)$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 16:59-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú vékony körvezető töltése
. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától
távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?
Megoldás
A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható szög szerint parametrizáljuk, a kört
szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem
töltése a következő:
![\[dQ=\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q\]](/images/math/5/d/6/5d615f04feb68c17e29607b7d89bd1a6.png)
Az ívelem és a kérdéses pont távolsága:
![\[s=\sqrt{r^2+z^2}\]](/images/math/b/3/2/b328e13bb715895af840b4a7e80c9295.png)
A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab térerősség járulékát:
![\[dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} \]](/images/math/5/a/2/5a29c87a586a5d0ef86b11016abc9354.png)
A rendszer hengerszimmetriája miatt a térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a
irányú komponensek összegződnek. A
térerősség függőleges komponense:
![\[dE_{z}=dEcos(\theta)\]](/images/math/a/7/6/a7683ce2b0138eeb57c5ec6dda08c86c.png)
Ahol a
tengely és
által bezárt szög:
![\[cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\]](/images/math/c/3/6/c3625baa5a9b9a4e5ccd37db5d8ffe3b.png)
![\[dE_{z}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{d\varphi}{2\pi}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/6/4/e/64ee7398b38494d56d91b7cdb37c0ff1.png)
Összegezzük az elemi ívdarabok irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:
![\[ E=\int_0^{2\pi}dE_z=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{2\pi(r^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} \]](/images/math/f/d/7/fd71fbdcb2fdaf9d0152e4cc6cbe358f.png)
Ezt követően határozzuk meg a maximális térerősség helyét! A szélsőértéket az alábbi egyenlet megoldásával kereshetjük meg:
![\[ \dfrac{dE}{dz}=0\]](/images/math/d/8/6/d86f4b57bb727edb91c93dd1a861468f.png)
Az térerősség
szerinti deriváltja:
![\[ \frac{dE}{dz}=\frac{(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}}{(r^2+z^2)^3}\]](/images/math/2/a/e/2ae1a4ed7ce9493c0d84f0058e030ee0.png)
A megoldandó egyenlet tehát:
![\[ 0=(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}\]](/images/math/0/5/2/05230a426e33001f98ad8251a8ef4875.png)
A megoldás:
![\[ z=\dfrac{r}{\sqrt{2}}\]](/images/math/8/2/5/82567e131eb8f6e89cf20bf7109cac64.png)