„Elektrosztatika példák - Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgyné…”) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb | + | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=A gömbön belül: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ <br> A gömbön kívül pedig: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$}} |
− | + | ||
− | középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss | + | |
− | + | ||
− | tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=A gömbön belül: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_ | + | |
− | + | ||
− | {r}}$$ <br> A gömbön kívül pedig: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$}} | + | |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 23., 16:54-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú gömbben egyenletes
térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
Megoldás
Vegyünk fel egy sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:
![\[\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV\]](/images/math/f/6/c/f6c18da3130637dc51790def87c0d576.png)
Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé (). Ekkor a felület által bezárt
töltések mennyisége:
![\[Q=\frac{4}{3} r^{3}\pi\rho\]](/images/math/e/d/9/ed908885b66e7fbc609a6753bf7a4887.png)
A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága
a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses térerősség nagyságának és a
teljes Gauss felületnek szorzatával:
![\[\int\int\vec{E}\cdot\vec{dA} =EA\]](/images/math/2/a/4/2a44e0ebf3779a1254c3e100017bdba7.png)
Ennek ismeretében a Gauss törvény:
![\[E \cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]](/images/math/4/2/9/429198881a5ff249de3f0e3bec9c0e01.png)
Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve:
![\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]](/images/math/e/3/0/e30aec9803d933b7acabfb8843f72edb.png)
A gömbön kívüli térben () a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja:
![\[Q=\frac{4}{3}R^3\pi\rho \]](/images/math/1/e/f/1efb36c66e1039dc4d791fb438da205a.png)
Ennek ismeretében a Gauss-törvény:
![\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]](/images/math/6/8/0/680b0bb3fec39196fa4dc59e6d5d5f41.png)
![\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]](/images/math/5/6/e/56e41121a5ed4c2cd4e68dbe29bfdc7a.png)
Ezt ábrázolva: