„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött korong tengelye mentén az elektromos tér” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Induljunk ki [[Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér| | + | Induljunk ki az [[Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér|előző feladat megoldásából]], amely szerint egy $r$ sugarú, $Q$ töltéssel egyenletesen töltött gyűrű tengelyén a térerősség az alábbiak szerint írható le: |
$$ E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} $$ | $$ E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} $$ |
A lap 2013. április 28., 12:46-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú korong egyenletesen töltött
felületi töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a korong síkjától
távolságban!
Megoldás
Induljunk ki az előző feladat megoldásából, amely szerint egy sugarú,
töltéssel egyenletesen töltött gyűrű tengelyén a térerősség az alábbiak szerint írható le:
![\[ E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} \]](/images/math/a/c/6/ac6a55602380a259629697b352517c1a.png)
Ahol a gyűrű síkjától mért távolság.
Az
sugarú korongunkat felosztjuk igen vékony,
sugarú töltött gyűrűk sokaságára az 1. ábra szerint. Ebben az esetben egy gyűrű
területe:
![\[ dA=2r\pi dr\]](/images/math/5/e/4/5e42d1d4ea1284b69c3ecae731935466.png)
Ahol a gyűrű szélessége. Ez alapján a gyűrű
töltése:
![\[dQ=\omega dA=2r\pi\omega dr\]](/images/math/6/3/4/63410f2bc422398396f4c935a6a2eae6.png)
A gyűrű térerősség járuléka a kérdéses pontban:
![\[ dE=\dfrac{dQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}}\dfrac{rz}{(r^2+z^2)^{3/2}}dr \]](/images/math/4/2/b/42b7a7d73f08d83ec7e7d336929695fc.png)
Az elemi gyűrűk térerősség járulékait összegezzük:
![\[E= \int_0^R dE=\dfrac{z\omega}{2\varepsilon_{0}}\int_0^R\dfrac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}dr=\int_0^R dE=\dfrac{z\omega}{2\varepsilon_{0}} \left[-\dfrac{1}{(r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R \]](/images/math/4/8/9/489a7377b10fd736be547836aaaf2360.png)
Tehát a korong elektromos tere:
![\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]](/images/math/e/7/6/e760b68831c68f2b1ca6a11b95ddee89.png)
Érdekesség: Ha a korong méretét minden határon túl növeljük, a fenti összefüggés határértéke visszaadja a végtelen síklap jól ismert (!!!!!!!!!!!!!!!!!!1. feladatsor 9.feladat link!!!!!!!!!!!!!!) térerősség formuláját:
![\[E=\lim_{R \to \infty}\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right) = \dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}}\]](/images/math/a/e/a/aeae41530542d272cda166752a72cb3c.png)