Mechanika - Rugókra merőleges rezgés

Feladat

1. (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugóállandójú rugó közé $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, megfeszítve $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $\setbox0\hbox{$l\rightarrow l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határesetet!
   

Megoldás

A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.

$\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása $\setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Kimozdítva onnan a rugó hossza $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyett már $\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és

$\[x^2+l^2=l_2^2\]$

. A rugóerő $\setbox0\hbox{$F_r=-D(l_2-l_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, de ez rugóirányú, ennek csak az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú vetülete jelenik meg az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val jelölve

$\[F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2\]$

$\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is. Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az $\setbox0\hbox{$l_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény sorbafejtése, ez

$\[l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)\]$

Ennek második tagja $\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kifejezésébe beírva összességében $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy $\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elsőrendű közelítésben egyenlő $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el, mivel a sorfejtésben nincs $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el arányos lineáris tag, csak másodrendű $\setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül:

$\[F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,\]$

vagyis az effektív rugóállandó

$\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l\]$

A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változó szerint. (Emlékezzünk, hogy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: $\setbox0\hbox{$2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása

$\[\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx\]$

Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis $\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elmozdulást a rugó kis $\setbox0\hbox{$\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer.

A rugóerő ezt a közelítést felhasználva

$\[F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)\]$

önmagában még látszólag lineáris $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben, de $\setbox0\hbox{$\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szintén kicsi ($\setbox0\hbox{$<<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük $\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et:

$\[F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx\]$

Mivel kis kitérésekre $\setbox0\hbox{$\alpha\approx 90\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$\cos{\alpha}\ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha $\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összemérhető $\setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ előfeszítéssel.

Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt $\setbox0\hbox{$l\gg l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén (azaz $\setbox0\hbox{$l\rightarrow\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határesetben) visszakapjuk a rugó $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandóját.