Feladat
- (*6.9.) Két vízszintes helyzetű
rugóállandójú rugó közé
tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban
, megfeszítve
. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint
függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az
határesetet!
Megoldás
A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.
![\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/4/3/143702ca3a7ced17cccc8642cc848b63.png)
egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása
![\setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/4/e/f4e028f8fbdc1f139231015a6faae341.png)
. Kimozdítva onnan a rugó hossza
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
helyett már
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
, és
. A rugóerő
![\setbox0\hbox{$F_r=-D(l_2-l_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/3/3/3336cafd4fad09a94008642c472378e6.png)
, de ez rugóirányú, ennek csak az
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
irányú vetülete jelenik meg az
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
-val jelölve
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is.
Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az
![\setbox0\hbox{$l_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/5/5/1553c893a007f429268dbf73dd5def4a.png)
függvény sorbafejtése, ez
Ennek második tagja
![\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/e/6/8e6d513ed218e65ea739f95e66d27fb8.png)
kifejezésébe beírva összességében
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
elsőrendű közelítésben egyenlő
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
-el, mivel a sorfejtésben nincs
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
-el arányos lineáris tag, csak másodrendű
![\setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/5/e/45e8d993bce4e3883f578dcf581dbf9d.png)
-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül:
vagyis az effektív rugóállandó
A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
és
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
változó szerint. (Emlékezzünk, hogy
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből:
![\setbox0\hbox{$2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/0/7/4078d26c8b439f15f1057efcd1426fa5.png)
kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása
Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis
![\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/8/6/68628524128a841cbb0efec63b086248.png)
elmozdulást a rugó kis
![\setbox0\hbox{$\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/d/1/dd19fdb316f4eb93958948f3f2ed1bb2.png)
megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer.
. A rugóerő ezt a közelítést felhasználva
önmagában még látszólag lineáris
![\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/6/f/96fc46ef8ef1f873fc52ca915e276cf7.png)
-ben, de
![\setbox0\hbox{$\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/f/3/0f3f852a68bda0261757c4ff6cf1d829.png)
szintén kicsi (
![\setbox0\hbox{$<<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/4/1/c416ab0a504bed0639d7b920a949fae6.png)
) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük
![\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/e/6/8e6d513ed218e65ea739f95e66d27fb8.png)
-et:
Mivel kis kitérésekre
![\setbox0\hbox{$\alpha\approx 90\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/8/e/28ea84967a34da1c622f0d542b5bffbb.png)
, így
![\setbox0\hbox{$\cos{\alpha}\ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/6/2/e621cf79469cf9b76a5f95cfc7cb0794.png)
és
![\setbox0\hbox{$\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/0/c/c0c4c1d1e8697721dbf4dd333d833706.png)
, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha
![\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/8/6/68628524128a841cbb0efec63b086248.png)
összemérhető
![\setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/4/e/f4e028f8fbdc1f139231015a6faae341.png)
előfeszítéssel.
Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt
esetén (azaz
határesetben) visszakapjuk a rugó
állandóját.