Mechanika - Inga kétféle rezgésideje

Feladat

1. (*6.11.) Mutassuk meg, hogy egy gömbinga/kúpinga periódusideje ugyanakkora, ha egy kis kör mentén mozog, mint ha síkban kis lengéseket végez!

Megoldás

Elegendő megmutatni a körfrekvenciák (négyzetének) azonosságát. Sík lengések esetén a tangenciális mozgásegyenlet

$\[ma_t=m\ddot{\alpha}l=-mg\sin{\alpha}\approx-mg\alpha,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az inga hossza. Ebből a szöggyorulásra rendezve lelolvasható a körfrekvencia (négyzete)

$\[\omega^2=\frac gl\]$

A körözés esetén a körmozgás vízszintes síkban zajlik és egyenletes, ezért a mozgásegyenletet vízszintes radiális, és függőleges komponenesekre írjuk fel. (Ebben az esetben nincsenek tangenciális erők és gyorsulás.)

$\[K\cos{\alpha}=mg\]$

$\[K\sin{\alpha}=m\omega^2r,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kötélerő, és $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a körpálya sugara. Mivel $\setbox0\hbox{$r\ll l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$\sin{\alpha}=\frac rl\approx\tan{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, másrészt a két fenti egyenletet egymással elosztva

$\[\tan{\alpha}=\frac{\omega^2r}g,\]$

így $\setbox0\hbox{$\frac{\omega^2}g=\frac1l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből pedig

$\[\omega^2=\frac gl,\]$

ami egyezik az előző esetben kapott eredménnyel.