Mechanika - Adott eredő rezgés

Feladat

1. (*6.21.) Azonos frekvenciájú, egyirányú rezgések összetevésénél az egyik rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$6\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kedzőfázisa $\setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másik rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$3\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkorára kell választani a második rezgés kezdőfázisát, hogy az eredő rezgés kezdőfázisa zérus legyen?

   b) Mekkora lesz ebben az esetben az eredő rezgés amplitúdója?

   c) Mekkorára kell a második rezgés kezdőfázisát választani, hogy az eredő amplitúdó $\setbox0\hbox{$7\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen?

Megoldás

a) A forgóvektorok vagy a komplex amplitúdók ábrázolásából következik, hogy a második rezgés kezdőfázisa $\setbox0\hbox{$-90^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kell legyen. b) Ugyancsak a kapott derékszögű vektorháromszög alapján $\setbox0\hbox{$A_2^2+3^2=6^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (cm-ekben értve mindent), így

$\[A_2=\sqrt{27}\,\rm{cm}=3\sqrt3\,\rm{cm}\approx5,2\,\rm{cm}\]$

c) Ebben az esetben a vektorháromszög nem derékszögű, viszont minden oldala ismert, valamint az $\setbox0\hbox{$\tilde A_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komplex amplitúdó $\setbox0\hbox{$\phi_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisszöge is. Alkalmazva a koszinusz-tételt az $\setbox0\hbox{$\tilde A_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\tilde A_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektorok által bezárt belső szög $\setbox0\hbox{$\beta=96,4^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a hozzá tartozó $\setbox0\hbox{$\pi-\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ külső szög már figyelembe veszi a vektorok irányítását is. Végül a második rezgés fázisszöge

$\[\phi_2=\phi_1-(\pi-\beta)=-150^{\circ}+96,4^{\circ}=-53,6^{\circ}\]$

Másik megoldás is lehetséges:

$\[\phi_2=\phi_1+(\pi-\beta)=210^{\circ}-96,4^{\circ}=113,6^{\circ}\]$