Mechanika - Kiskocsik rugóval

Feladat

1. (*6.16.) Vízszintes lapon álló $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű kiskocsikat $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugóállandójú rugóval kötünk össze. A két kiskocsit széthúzzuk, majd hirtelen elengedjük őket. Hogyan fognak ezután mozogni? (A súrlódástól eltekintünk.)

Megoldás

A rajzon látható koordinátarendszerben a két test mozgásegyenlete:

$\[m_1\ddot x_1=-D(x_1-x_2)\]$

$\[m_2\ddot x_2=D(x_1-x_2),\]$

ahol $\setbox0\hbox{$x_1(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a keresett megoldások. Mivel a testekre pontrendszerként tekintve őket csak belső erő hat (erő-ellenerő pár, ahogy a mozgásegyenletek jobb oldalán látszik), ezért a tömegközéppont mozgása csak meghatározott lehet. A nulla keződsebeségek miatt ennek sebessége nulla (az eredő impulzus nulla). Emiatt a tömegközéppont gyorsulása is nulla, ami a két egyenlet összeadásából is látszik, másrészt a tömegközéppont helye időben állandó. Előbbi megállapítás miatt a két keresett gyorsulás függvény csak egymás számszorosa lehet, mivel másképp nem tudnák kielégíteni a mozgásegyenleteket minden időpontban. Ugyanez igaz a sebesség függvényekre, mivel

$\[(m_1+m_2)v_{\rm{TKP}}=0=m_1\dot x_1+m_2\dot x_2,\]$

így azok is egymás számszorosai. Maguk a kitérés-idő függvények ezek szerint egy konstant eltolás erejéig egymás számszorosai, azaz lineáris kapcsolatban vannak egymással. Ez a konstant azonban vehető nullának, mivel

$\[(m_1+m_2)x_{\rm{TKP}}=\text{áll.}=m_1x_1+m_2(l_0+x_2),\]$

ahol $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rugó nyújtatlan hossza, amely viszont nem szerepel a mozgásegyenletekben, így tetszőlegesen választható! Ezzel $\setbox0\hbox{$x_{\rm{TKP}}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ is lehet, és a két keresett függvényre

$\[\frac{x_1}{x_2}=-\frac{m_2}{m_1}\]$

adódik. Ezt felhasználva $\setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egymással helyettesíthető a két mozgásegyenletben, így kapjuk pl. a másodikból:

$\[m_2\ddot x_2=-D(x_2-x_1)=-D\left(x_2+\frac{m_2}{m_1}x_2\right)=-D\frac{m_1+m_2}{m_1}x_2,\]$

amely egy harmonikus rezgés egyenlete, így ebből

$\[\omega^2=D\frac{m_1+m_2}{m_1m_2},\]$

és ugyanezt kapnánk az első egyenletből is. Megállapítható tehát, hogy mindkét kocsi azonos frekenciával fog rezegni. Az itt látható hányados reciproka a két test redukált tömege. Egy másik lehetséges megoldási mód bonyolultabb/általánosabb esetek kezelését is lehetővé teszi, ezért röviden érdemes megnézni ezt is. A két mozgásegyenletünk egy közönséges, csatolt, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciál-egyenlet rendszer. Az ilyen rendszerek homogén általános megoldását mindig exponenciális függvények alakjában lehet keresni (pár kivétellel, lásd. később a kritikus csillapításnál). Fizikai kép alapján ráadásul $\setbox0\hbox{$e^{\pm i\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komplex exponenciális vagy szinuszos alakokban kereshetjük a megoldást, mivel rezgésről van szó. Ezek alapján a próbafüggvényeink legyenek $\setbox0\hbox{$x_1(t)=x_{01}\sin{\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2(t)=x_{02}\sin{\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakúak. Itt már felhasználtuk azt a megállapítást, hogy a két függvény egymás számszorosa lehet csak, tehát azonos frekvenciájú rezgéseket írnak le. Ezeket az egyenletekbe helyettesítve kapjuk

$\[-m_1\omega^2x_1=-D(x_1-x_2)\]$

$\[-m_2\omega^2x_2=D(x_1-x_2),\]$

amely már egy algebrai homogén lineáris egyenletrendszer, tehát mátrix alakban is felírható:

$\[\begin{bmatrix} D-m_1\omega^2&-D\\-D&D-m_2\omega^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\]$

Látható, hogy ez alakját tekintve lényegében egy sajátérték egyenlet. Nemtirivális megoldása a homogén egyenletnek akkor van, ha az együttható mátrix determinánsa nulla, és ez adja meg a lehetséges frekvenciákat, ez esetben egy nullát és egy nem nullát. A próbafüggvény behelyettesítésénél kieső $\setbox0\hbox{$x_{01}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_{02}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdók alkotta vektor lenne a sajátvektor. Konkrét kezdeti feltételek nélkül ezek nem határozatók meg, csak az arányuk, azaz egy sajátvektor, amely a nem nulla frekvenciás rezgéshez tartozik. Hasonló lineáris algebrai eszköztárral kezelhetők akár a több szabadsági fokú rugóláncok, csatolt ingák, stb.