Mechanika - Kiskocsik rugóval
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2012. december 2., 15:36-kor történt szerkesztése után volt.
Feladat
- (*6.16.) Vízszintes lapon álló
és
tömegű kiskocsikat
rugóállandójú rugóval kötünk össze. A két kiskocsit széthúzzuk, majd hirtelen elengedjük őket. Hogyan fognak ezután mozogni? (A súrlódástól eltekintünk.)
Megoldás
ÚJ RAJZ. A rajzon látható koordinátarendszerben a két test mozgásegyenlete:![\[m_1\ddot x_1=-D(x_1-x_2)\]](/images/math/5/4/5/54529601f1318a9e2a6175ce3980ecf2.png)
![\[m_2\ddot x_2=D(x_1-x_2),\]](/images/math/2/a/6/2a6be18e9486fc4b65077478c0274ca3.png)
![\setbox0\hbox{$x_1(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/9/9/199f42b4d692598a0e82713f577fdfa9.png)
![\setbox0\hbox{$x_2(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/2/b/92b06a0a1165b823e4c870bf23114426.png)
![\[(m_1+m_2)v_{\rm{TKP}}=0=m_1\dot x_1+m_2\dot x_2,\]](/images/math/5/d/c/5dca4661f392bdd303c455f242df828f.png)
![\[(m_1+m_2)x_{\rm{TKP}}=\text{áll.}=m_1x_1+m_2(l_0+x_2),\]](/images/math/c/8/2/c82ee1c6c13caba47b188e486fba16f0.png)
![\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/b/c/2bcc1ae4be6e3c6c10df731bc63834b7.png)
![\setbox0\hbox{$x_{\rm{TKP}}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/e/1/6e14e0bcf5170b2ed2c622041cf2ee16.png)
![\[\frac{x_1}{x_2}=-\frac{m_2}{m_1}\]](/images/math/f/a/d/fad1df4ca93ba13c8aa23bbc5f033825.png)
![\setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/2/7/3278f0c91c2ce49ee3ea69a3b16df996.png)
![\setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/2/b/32b66053d8f8a3b740226b464212c6e1.png)
![\[m_2\ddot x_2=-D(x_2-x_1)=-D\left(x_2+\frac{m_2}{m_1}x_2\right)=-D\frac{m_1+m_2}{m_1}x_2,\]](/images/math/c/d/d/cdd37016d9ce3950664c8d6923e52066.png)
![\[\omega^2=D\frac{m_1+m_2}{m_1m_2},\]](/images/math/2/5/6/2566abb0233b86baee4baea4d1c28e93.png)
- Egy másik lehetséges megoldási mód bonyolultabb/általánosabb esetek kezelését is lehetővé teszi, ezért röviden érdemes megnézni ezt is. A két mozgásegyenletünk egy közönséges, csatolt, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciál-egyenlet rendszer. Az ilyen rendszerek homogén általános megoldását mindig exponenciális függvények alakjában lehet keresni (pár kivétellel, lásd. később a kritikus csillapításnál). Fizikai kép alapján ráadásul
komplex exponenciális vagy szinuszos alakokban kereshetjük a megoldást, mivel rezgésről van szó. Ezek alapján a próbafüggvényeink legyenek
és
alakúak. Itt már felhasználtuk azt a megállapítást, hogy a két függvény egymás számszorosa lehet csak, tehát azonos frekvenciájú rezgéseket írnak le. Ezeket az egyenletekbe helyettesítve kapjuk
amely már egy algebrai homogén lineáris egyenletrendszer, tehát mátrix alakban is felírható:Látható, hogy ez alakját tekintve lényegében egy sajátérték egyenlet. Nemtirivális megoldása a homogén egyenletnek akkor van, ha az együttható mátrix determinánsa nulla, és ez adja meg a lehetséges frekvenciákat, ez esetben egy nullát és egy nem nullát. A próbafüggvény behelyettesítésénél kiesőamplitúdók alkotta vektor lenne a sajátvektor. Konkrét kezdeti feltételek nélkül ezek nem határozatók meg, csak az arányuk, azaz egy sajátvektor, amely a nem nulla frekvenciás rezgéshez tartozik. Hasonló lineáris algebrai eszköztárral kezelhetők akár a több szabadsági fokú rugóláncok, csatolt ingák, stb.
- Egy másik lehetséges megoldási mód bonyolultabb/általánosabb esetek kezelését is lehetővé teszi, ezért röviden érdemes megnézni ezt is. A két mozgásegyenletünk egy közönséges, csatolt, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciál-egyenlet rendszer. Az ilyen rendszerek homogén általános megoldását mindig exponenciális függvények alakjában lehet keresni (pár kivétellel, lásd. később a kritikus csillapításnál). Fizikai kép alapján ráadásul