Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat elektromos tere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbben egyenletes $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!

Megoldás

Vegyünk fel egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömböt, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:

$\[\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV\]$

Ami a gömbön belül:

$\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]$

$\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]$

A gömbön kívül pedig:

$\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]$

$\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]$

Ezt ábrázolva: