Elektrosztatika példák - Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $\setbox0\hbox{$+q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
   

Megoldás

Ha a kiszemelt töltésen az ábrán látható módon felveszünk egy koordináta rendszert, akkor annak helyén a többi töltés által keltett térerősség:

$\[\vec{E_{2}} = \frac{k\cdot{q}}{(a\cdot{\sqrt{2}})^2}\cdot\vec{e_{x}} \]$

$\[\vec{E_{1}} = \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{x}}\cdot{\cos(\alpha)}+ \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{y}}\cdot{\sin(\alpha)} \]$

$\[\vec{E_{3}} = \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{x}}\cdot{\cos(\alpha)}- \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{y}}\cdot{\sin(\alpha)} \]$

Ahol $\setbox0\hbox{$k=1/4\pi \varepsilon_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$q_{4}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltésrere ható elektromos tér a három töltés szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig:

$\[\vec{E_{e}}=\frac{k\cdot{q}}{a^{2}}\cdot{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}\cdot{\vec{e_{x}}}\]$

Amiből a töltésre ható erő:

$\[\vec{F}=\frac{k\cdot{q^{2}}}{a^{2}}\cdot{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}\cdot{\vec{e_{x}}}\]$

Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan $\setbox0\hbox{$q*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő éppen ellenttart a négyzet többi töltése által okozott eredő erővel.

$\[\vec{F*}=\vec{-F_{e}} \]$

$\[\frac{k\cdot{q^2}}{a^2}\cdot{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}=-\frac{k\cdot{q}\cdot{q*}}{{(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{a})}^2} \]$

Innen pedig:

$\[q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).\]$