Elektrosztatika példák - Végtelen sík elektromos tere

Feladat

1. Végtelen kiterjedésű síkon $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a Gauss-tétel segítségével a síktól $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra!

Megoldás

A Gauss-tétel alkalmazásához fel kell vennünk egy zárt felületet a térben. Ez legyen egy téglatest, melynek a töltött síkkal párhuzamos lapjai egyenként $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területűek. Az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű lapok a töltött sík átellenes oldalain helyezkednek el, attól egyaránt $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra. (ábra) Az így definiált téglateste írjuk fel a Gauss-törvényt:

$\[\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\oint \overline{E} \overline{dA}\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$Q=A\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a felvett téglatest által bezárt töltés mennyisége. A rendszer szimmetriája miatt kijelenthetjük, hogy az elektromos tér mindenütt merőleges lesz a töltött síkra. Ebből következik, hogy a téglatest töltött síkra merőleges oldalfalain az $\setbox0\hbox{$\overline{E} \overline{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ skalárszorzat minden pontban azonosan nulla lesz, hiszen ezen felületek normálisa mindenütt $\setbox0\hbox{$90^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget zár be a $\setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősséggel. A töltött síkkal párhuzamos $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületű lapokon viszont a $\setbox0\hbox{$\overline{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületnormális és a $\setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség minden pontban párhuzamos egymással, így azok skalárszorzata megegyezik a vektorok abszolút értékének szorzatával: $\setbox0\hbox{$\overline{E} \overline{dA}=EdA$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

A térerősség zárt felületre felvett integrálja az alábbi formára egyszerűsödik:

$\[\dfrac{A\omega}{\varepsilon_0}=\oint \overline{E} \overline{dA}=2EA\]$

Ebből a térerősséget kifejezve:

$\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0} \]$

A kapott eredményt érdemes összevetni az Egyenletesen töltött korong tengelye mentén az elektromos tér feladat $\setbox0\hbox{$(R\longrightarrow \infty)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határértékben kapott végeredményével.