Mechanika - Függvényalak átalakítása

Feladat

1. (*6.19.) Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$x(t)=3\sin{2t}–\cos{2t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ törvény szerint harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont mozgásának amplitúdóját és periódusidejét!

Megoldás

SI egységekben gondolkodva leolvasható, hogy a körfrekvencia $\setbox0\hbox{$\omega=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a periódusidő $\setbox0\hbox{$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az amplitúdót akkor kaphatjuk meg, ha összevetjük a megadott függvényalakot egy

$\[x(t)=A\sin(2t+\phi)=A\sin(2t)cos{\phi}+A\cos(2t)sin{\phi}\]$

alakkal. Ebből $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra és $\setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re két egyenlet kapható:

$\[A\cos{\phi}=3\]$

$\[A\sin{\phi}=-1\]$

. Ezek négyzetét összegezve

$\[A^2=9+1=10,\]$

és a kezdőfázis is megkapható pl. a két egyenletet elosztva.

Érdemes megjegyezni, hogy a szinusz és koszinusz függvény két lineárisan független alapmegoldás, azaz bázist alkotnak a megoldások kétdimenziós lineáris terében. Bizonyos értelemben még ortogonálisak is, így a (3,-1) együtthatókat derékszögü koordináták vektoraként is értelmezhetjük, melynek hossznégyzete pitagoraszi öszzegzéssel kapható, ezt láttuk fentebb.