Mechanika - Eredő rezgés adatai

Feladat

1. (*6.20.) Egyik harmonikus rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$A_1=3\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kezdőfázisa $\setbox0\hbox{$\phi_1=\pi /6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másiké $\setbox0\hbox{$A_2=5\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\phi_2=-\pi /6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora az eredő amplitúdó és az előálló rezgés fázisállandója?

Megoldás

Feltéve, hogy a kezdőfázis azonos szinuszos (vagy koszinuszos) alakokhoz tartozik, az eredő rezgést is kereshetjük ugyanilyen alakban, és trigonometrikus összefüggések segítségével az előző feladathoz hasonlóan megkaphatjuk a keresett mennyiségeket. Célszerűbb és rövidebbb azonban forgóvektorokban, vagy komplex amplitúdókban gondolkodni, tehát a rezgéseket az amplitúdónak megfelelő hosszúságú és a kezdőfázisnak megfelelő irányítású vektorokként kezelni, és így keresni az eredő vektor nagyságát és irányát. Ezen képek alapján

$\[(A_1\cos{\alpha_1}+A_2\cos{\alpha_2})^2+(A_1\sin{\alpha_1}+A_2\sin{\alpha_2})^2=A^2=49\,\rm{cm}^2,\]$

tehát $\setbox0\hbox{$A=7\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, továbbá

$\[\tan{\alpha}=\frac{A_1\sin{\alpha_1}+A_2\sin{\alpha_2}}{A_1\cos{\alpha_1}+A_2\cos{\alpha_2}}=-0,144,\]$

és $\setbox0\hbox{$\alpha=-8,2^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$