Mechanika - Azonos kitérés ideje

Feladat

1. (*6.22.) Két, azonos amplitúdójú rezgés, melyek frekvenciája $\setbox0\hbox{$f_1=50\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$f_2=60\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyszerre kezdi meg rezgését az egyensúlyi helyzetből. Mikor lesz legelőször ismét azonos a kitérésük?

Megoldás

Legyen $\setbox0\hbox{$x_1(t)=A\sin{\omega_1t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2(t)=A\cos{\omega_2t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a két rezgés. Amikor a két kitérés azonos, akkor

$\[\sin{\omega_1t}-\sin{\omega_2t}=0=2\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}2t\right)\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}2t\right)\]$

Az első tényező változik gyorsabban, így amikor az nulla lesz $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t követően (amikor a másik tényező miatt nulla a szorzat), akkor kapjuk a keresett megoldást. A második tényező jelenti a két rezgés közti lebegést, ez csak később válik ismét nullává. Tehát

$\[\frac{\omega_1+\omega_2}2=\frac{\pi}2,\]$

ebből áttérve a frekvenciákra

$\[t=\frac1{2(f_1+f_2)}=4,54\,\rm{ms}\]$