Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat árnyékolással elektromos tere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömben egyenletes $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűség van. Ezt egy $\setbox0\hbox{$R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú földelt fémgömb veszi kürül koncentrikus elrendezésben.
   a) Határozzuk meg, a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
   b) Mekkora felületi töltéssűrűség alakul ki a földelt fémgömbön?

Megoldás

a)

Vegyünk fel egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömböt, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:

$\[\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV\]$

Ami ha $\setbox0\hbox{$r<R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]$

$\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]$

Ha $\setbox0\hbox{$R_{1}<r<R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$::

$\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]$

$\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]$

Ha pedig $\setbox0\hbox{$r>R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0\]$

$\[\vec{E}=0\]$

Mivel a földelt fémgömbön éppen akkora nagyságú,de ellentétes előjelű, töltés jelenik meg, mint amilyen amekkora az $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömb töltése. Ezt ábrázolva:

2.ábra

b)

Mivel a földelt gömbön lévő töltés abolútértéke megegyezik az $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbön található töltés abszolútértékével, viszont előjele azzal ellentétes.Ezért

$\[-4\cdot\pi\cdot R_{2}^{2}\cdot\sigma = \frac{4}{3}\cdot R_{1}^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]$

Amiből:

$\[\sigma = -\frac{R_{1}^{3}\cdot\rho}{3\cdot R_{2}^{2}}\]$