Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú vékony körvezető töltése $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?

Megoldás

A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $\setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $\setbox0\hbox{$dQ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltése a következő:

$\[dQ=\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q\]$

Az ívelem és a kérdéses pont $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolsága:

$\[s=\sqrt{r^2+z^2}\]$

A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség járulékát:

$\[dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} \]$

A rendszer hengerszimmetriája miatt a $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú komponensek összegződnek. A $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség függőleges komponense:

$\[dE_{z}=dEcos(\theta)\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely és $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ által bezárt szög:

$\[cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\]$

$\[dE_{z}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{d\varphi}{2\pi}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}\]$

Összegezzük az elemi ívdarabok $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:

$\[ E=\int_0^{2\pi}dE_z=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{2\pi(r^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} \]$

Ezt követően határozzuk meg a maximális térerősség $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyét! A szélsőértéket az alábbi egyenlet megoldásával kereshetjük meg:

$\[ \dfrac{dE}{dz}=0\]$

Az $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerinti deriváltja:

$\[ \frac{dE}{dz}=\frac{(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}}{(r^2+z^2)^3}\]$

A megoldandó egyenlet tehát:

$\[ 0=(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}\]$

A megoldás:

$\[ z=\dfrac{r}{\sqrt{2}}\]$