Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere

Feladat

1. Egymástól $\setbox0\hbox{$2d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel $\setbox0\hbox{$+\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$-\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!

Megoldás

Először határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$+\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű fonal terét a fonaltól mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban. (A másik fonaltól egyelőre tekintsünk el) Ehhez felveszünk egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületet, melynek tengelye egybeesik a vonaltöltéssel, magassága $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hengerfelületre felírjuk a Gauss-törvényt:

$\[\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\oint \overline{E}\overline{dA} \]$

Ahol $\setbox0\hbox{$Q=l\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hengerfelület által bezárt töltés mennyisége. A rendszer szimmetriája miatt az elektromos térerősség a tér minden pontjában merőleges a vonaltöltésre, az arra merőleges síkban sugárirányú. Megállapíthatjuk, hogy a hengerek alapjain a felület $\setbox0\hbox{$\overline{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ normálisa mindenütt $\setbox0\hbox{$90^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ot zár be a $\setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősséggel. Tehát a $\setbox0\hbox{$\overline{EdA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ skalárszorzat a henger alapjainak minden pontján nullának tekinthető. A henger palástján a térerősség minden pontban párhuzamos a felületnormálissal,így a skalárszorzat megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával: $\setbox0\hbox{$\overline{EdA}=EdA$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ A térerősség zárt felületre vett integrálja tehát egyszerűen kifejezhető:

$\[\dfrac{l\lambda}{\varepsilon_0}=\oint \overline{E}\overline{dA}=2r\pi lE \]$

Ahol $\setbox0\hbox{$2r\pi l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a henger palástjának területe. A térerősség az egyenletből kifejezhető:

$\[ E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r}\]$

A feladatban két vonaltöltés terét kell meghatározni egy adott pontban. A kérdéses pont a vonaltöltésektől egyaránt $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban található, ahol:

$\[r=\sqrt{d^2+z^2}\]$

A töltéssűrűségek abszolút értéke is megegyezik, így az egyes vonaltöltések által az adott pontban keltett elektromos tér járulékainak $\setbox0\hbox{$\vert \vec{E_1} \vert$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vert \vec{E_2} \vert$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ abszolút értéke is megegyezik. A járulékok összegzése a szuperpozíció elve alapján történik. Az eredő tér tehát párhuzamos a két vonaltöltés által kijelölt síkkal, a vonaltöltésekre pedig merőleges. Nagysága a következőképp számítható:

$\[ E_e=2\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{\sqrt{d^2+z^2}}cos\Theta\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\Theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a két vonaltöltés síkja által bezárt szög. Ez alapján felírható, hogy:

$\[cos\Theta=\dfrac{d}{r}=\dfrac{d}{\sqrt{d^2+z^2}} \]$

A térerősség a kérdéses pontban tehát:

$\[ E_e=\dfrac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\dfrac{d}{(d^2+z^2)}\]$