„Elektrosztatika példák - Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgyné…”) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb | + | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=A gömbön belül: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ <br> A gömbön kívül pedig: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$}} |
− | + | ||
− | középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss | + | |
− | + | ||
− | tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=A gömbön belül: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_ | + | |
− | + | ||
− | {r}}$$ <br> A gömbön kívül pedig: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$}} | + | |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 23., 16:54-kori változata
Feladat
- Egy sugarú gömbben egyenletes térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
Megoldás
Vegyünk fel egy sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:
Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé (). Ekkor a felület által bezárt
töltések mennyisége:
A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága
a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses térerősség nagyságának és a
teljes Gauss felületnek szorzatával:
Ennek ismeretében a Gauss törvény:
Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve:
A gömbön kívüli térben () a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja:
Ennek ismeretében a Gauss-törvény:
Ezt ábrázolva: