„Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
18. sor: | 18. sor: | ||
$$dQ=\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q$$ | $$dQ=\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q$$ | ||
− | Az | + | Az ívelem és a kérdéses pont $s$ távolsága: |
$$s=\sqrt{r^2+z^2}$$ | $$s=\sqrt{r^2+z^2}$$ | ||
26. sor: | 26. sor: | ||
$$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} $$ | $$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} $$ | ||
− | A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok | + | A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $z$ irányú komponensek összegződnek. A $dE$ térerősség függőleges komponense:\ |
$$dE_{z}=dEcos(\theta)$$ | $$dE_{z}=dEcos(\theta)$$ | ||
46. sor: | 46. sor: | ||
Az $E$ térerősség $z$ szerinti deriváltja: | Az $E$ térerősség $z$ szerinti deriváltja: | ||
− | $$ \ | + | $$ \frac{dE}{dz}=\frac{(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}}{(r^2+z^2)^3}$$ |
A megoldandó egyenlet tehát: | A megoldandó egyenlet tehát: |
A lap 2013. szeptember 12., 16:53-kori változata
Feladat
- Egy sugarú vékony körvezető töltése . Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?
Megoldás
A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható szög szerint parametrizáljuk, a kört szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem töltése a következő:
Az ívelem és a kérdéses pont távolsága:
A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab térerősség járulékát:
A rendszer hengerszimmetriája miatt a térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a irányú komponensek összegződnek. A térerősség függőleges komponense:\
Ahol a tengely és által bezárt szög:
Összegezzük az elemi ívdarabok irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:
Ezt követően határozzuk meg a maximális térerősség helyét! A szélsőértéket az alábbi egyenlet megoldásával kereshetjük meg:
Az térerősség szerinti deriváltja:
A megoldandó egyenlet tehát:
A megoldás: