„Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
+ | [[Kép:KFGY2-1-6uj2.png|none|400px]] | ||
A fonalat vegyük körbe egy $L$ hosszúságú, $r$ sugarú hengerrel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt: | A fonalat vegyük körbe egy $L$ hosszúságú, $r$ sugarú hengerrel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt: | ||
18. sor: | 19. sor: | ||
A rendszer hengerszimmetriája miatt az elektromos tér mindenütt merőleges a vonaltöltésre, továbbá feltételezhetjük, hogy a vonaltöltéstől adott $r$ távolságra elhelyezkedő pontokban a térerősség nagysága állandó. A Gauss törvényben szereplő térerősség henger felületre vett integrálja tehát a következőképp egyszerűsíthető: | A rendszer hengerszimmetriája miatt az elektromos tér mindenütt merőleges a vonaltöltésre, továbbá feltételezhetjük, hogy a vonaltöltéstől adott $r$ távolságra elhelyezkedő pontokban a térerősség nagysága állandó. A Gauss törvényben szereplő térerősség henger felületre vett integrálja tehát a következőképp egyszerűsíthető: | ||
+ | |||
-A térerősségnek sehol sincs a henger alapjaira merőleges komponense, így a henger alapjaira vett felületi integrál zérus. | -A térerősségnek sehol sincs a henger alapjaira merőleges komponense, így a henger alapjaira vett felületi integrál zérus. | ||
+ | |||
-A henger palástján a térerősség mindenütt merőleges a felületre, abból kifelé mutat, így a felületre vett integrálban szereplő skalárszorzat helyettesíthető a vektorok abszolút értékének szorzatával: | -A henger palástján a térerősség mindenütt merőleges a felületre, abból kifelé mutat, így a felületre vett integrálban szereplő skalárszorzat helyettesíthető a vektorok abszolút értékének szorzatával: | ||
33. sor: | 36. sor: | ||
− | $$E= \frac{\lambda}{2\cdot | + | $$E= \frac{\lambda}{2\cdot r\cdot\epsilon_{0}\cdot\pi}$$ |
Megjegyzés: Az eredményt érdemes összevetni az előző feladat megoldásával, ahol a Gauss törvény helyett a Coulomb törvényt és a szuperpozíció elvét alkalmazva számoltuk ki a vonaltöltés terét. Láthatjuk, hogy a Gauss törvény alkalmazása jelentősen egyszerűsíti a számolást, ehhez azonban alaposan ki kellett használnunk a rendszer szimmetriáit. Ha a vizsgált töltéselrendezés sérti a fent kihasznált szimmetriákat, a Gauss törvény ilyen formában nem használható. Így például a véges hosszúságú vonaltöltés terének meghatározásakor célravezetőbb az előző példában alkalmazott integrál kiszámítása. | Megjegyzés: Az eredményt érdemes összevetni az előző feladat megoldásával, ahol a Gauss törvény helyett a Coulomb törvényt és a szuperpozíció elvét alkalmazva számoltuk ki a vonaltöltés terét. Láthatjuk, hogy a Gauss törvény alkalmazása jelentősen egyszerűsíti a számolást, ehhez azonban alaposan ki kellett használnunk a rendszer szimmetriáit. Ha a vizsgált töltéselrendezés sérti a fent kihasznált szimmetriákat, a Gauss törvény ilyen formában nem használható. Így például a véges hosszúságú vonaltöltés terének meghatározásakor célravezetőbb az előző példában alkalmazott integrál kiszámítása. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 17:10-kori változata
Feladat
- Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség . Határozzuk meg a térerősséget a fonáltól távolságra a Gauss-tétel segítségével!
Megoldás
A fonalat vegyük körbe egy hosszúságú, sugarú hengerrel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt:
A rendszer hengerszimmetriája miatt az elektromos tér mindenütt merőleges a vonaltöltésre, továbbá feltételezhetjük, hogy a vonaltöltéstől adott távolságra elhelyezkedő pontokban a térerősség nagysága állandó. A Gauss törvényben szereplő térerősség henger felületre vett integrálja tehát a következőképp egyszerűsíthető:
-A térerősségnek sehol sincs a henger alapjaira merőleges komponense, így a henger alapjaira vett felületi integrál zérus.
-A henger palástján a térerősség mindenütt merőleges a felületre, abból kifelé mutat, így a felületre vett integrálban szereplő skalárszorzat helyettesíthető a vektorok abszolút értékének szorzatával:
-Mivel a térerősség nagysága a hengerpaláston mindenütt állandó, az integrálást helyettesíthetjük a teljes felület és a konstans térerősség szorzatával:
Ezek alapján az egyszerűsített Gauss törvény:
Ahol a felület által bezárt töltés. Kifejezve a térerősséget:
Megjegyzés: Az eredményt érdemes összevetni az előző feladat megoldásával, ahol a Gauss törvény helyett a Coulomb törvényt és a szuperpozíció elvét alkalmazva számoltuk ki a vonaltöltés terét. Láthatjuk, hogy a Gauss törvény alkalmazása jelentősen egyszerűsíti a számolást, ehhez azonban alaposan ki kellett használnunk a rendszer szimmetriáit. Ha a vizsgált töltéselrendezés sérti a fent kihasznált szimmetriákat, a Gauss törvény ilyen formában nem használható. Így például a véges hosszúságú vonaltöltés terének meghatározásakor célravezetőbb az előző példában alkalmazott integrál kiszámítása.