Elektrosztatika példák - Speciálisan töltött körvezető tengelye mentén az elektromos tér

Feladat

1. Egy vékony szigetelő drótot $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kör alakúra hajlítunk, és $\setbox0\hbox{$\lambda=\lambda_0 sin^2\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűséggel látunk el, ahol $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a drót kezdőpontja és az aktuális hely közötti középponti szög. Határozzuk meg, és ábrázoljuk a térerősséget a kör tengelyén a kör síkjától mért $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében!

Megoldás

A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $\setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $\setbox0\hbox{$dQ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltése a következő:

$\[dQ=R\lambda d\varphi=R\lambda_0sin^2\varphi d\varphi\]$

Az elemi ívelem és a kérdéses pont $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolsága:

$\[s=\sqrt{R^2+z^2}\]$

A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség járulékát:

$\[dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{R\lambda_0sin^2\varphi}{s^2}d\varphi \]$

A rendszer hengerszimmetriája miatt a $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség járulékok tengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú komponensek összegződnek. A $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú komponense:

$\[dE_{z}=dEcos(\theta)\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely és $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ által bezárt szög:

$\[cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\]$

$\[dE_{z}=\dfrac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}sin^2\varphi d\varphi\]$

Összegezzük az elemi ívdarabok $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:

$\[ E=\int_0^{2\pi}dE_z=\dfrac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} sin^2\varphi d\varphi\]$

Az integrált kiértékelve megkapjuk a térerősséget:

$\[E=\dfrac{\lambda_0 R}{4\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\]$