Feladat
- (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a
és
direkciós erejű rugókra erősített
tömegű test rezgési frekvenciáit!
Megoldás
Az állandó nehézségi erőtér csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el, a rezgés frekvenciáját nem befolyásolja, ezért ezt a mozgásegyenletekből elhagyhatjuk. A feladat lényege a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rugók
![\setbox0\hbox{$k_{\rm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/6/f/26f00f843eef9fcfa3da4e46c9cff53b.png)
eredő rugóállandójának meghatározása. Párhuzamos esetben a mozgásegyenlet
ebből az eredő rugóállandó
azaz több párhuzamosan kapcsolt rugó esetén a rugóállandók összeadódnak. A rezgés körfrekvenciája
Soros esetben a két rugót feszítő
![\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/6/d/36dc8c2a2bb35571bed7e21189191fd4.png)
erő azonos, hisz a kettejük érintezésénél lévő erőpárnak azonos nagyságúnak kell lennie (Newton III. axióma!). Ez az
![\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/6/d/36dc8c2a2bb35571bed7e21189191fd4.png)
erő hat az
![\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/a/7/da73a6d026c6c49e20c7119ed3f876bf.png)
tömegre is, így a mozgásegyenlet
ahol
![\setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/2/7/3278f0c91c2ce49ee3ea69a3b16df996.png)
és
![\setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/2/b/32b66053d8f8a3b740226b464212c6e1.png)
a két rugó megnyúlása,
![\setbox0\hbox{$x=x_1+x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/f/6/6f6f6ec56038d1dd6b7b56710e921de6.png)
pedig a test elmozdulása, egyben a rugólánc teljes megnyúlása. Az egyenlet utolsó kifejezése maga az eredő rugóállandó definíciója is egyben. Továbbírva az egyenletet
melyet
![\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/6/d/36dc8c2a2bb35571bed7e21189191fd4.png)
-el egyszerűsítve és rendezve kapjuk
általános esetben pedig reciprok összegzési szabályt kaphatunk a sorba kapcsolt rugókra.