Mechanika - Rugók kapcsolása

Feladat

1. (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a $\setbox0\hbox{$k_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ direkciós erejű rugókra erősített $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test rezgési frekvenciáit!
   

Megoldás

Az állandó nehézségi erőtér csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el, a rezgés frekvenciáját nem befolyásolja, ezért ezt a mozgásegyenletekből elhagyhatjuk. A feladat lényege a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rugók $\setbox0\hbox{$k_{\rm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eredő rugóállandójának meghatározása. Párhuzamos esetben a mozgásegyenlet

$\[m\ddot x=-k_1m-k_2m=-(k_1+k_2)m,\]$

ebből az eredő rugóállandó

$\[k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,\]$

azaz több párhuzamosan kapcsolt rugó esetén a rugóállandók összeadódnak. A rezgés körfrekvenciája

$\[\omega=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m}\]$

Soros esetben a két rugót feszítő $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő azonos, hisz a kettejük érintezésénél lévő erőpárnak azonos nagyságúnak kell lennie (Newton III. axióma!). Ez az $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő hat az $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegre is, így a mozgásegyenlet

$\[m\ddot x=F=k_1x_1=k_2x_2=k_{\rm{eff}}x,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a két rugó megnyúlása, $\setbox0\hbox{$x=x_1+x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a test elmozdulása, egyben a rugólánc teljes megnyúlása. Az egyenlet utolsó kifejezése maga az eredő rugóállandó definíciója is egyben. Továbbírva az egyenletet

$\[F=k_{\rm{eff}}(x_1+x_2)=k_{\rm{eff}}(\frac F{k_1}+\frac F{k_2}),\]$

melyet $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el egyszerűsítve és rendezve kapjuk

$\[\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2},\]$

általános esetben pedig reciprok összegzési szabályt kaphatunk a sorba kapcsolt rugókra.