„Termodinamika példák - Gumiszalag termodinamikai potenciáljai” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele)
 
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Gumiszalag állapotegyenlete $f=aT\left({\textstyle \frac{\ell}{\ell_0}}-{\left({\textstyle \frac{\ell_0}{\ell}}\right)}^2\right)$ alakba írható, ahol $f$ a szalagban fellépő húzóerő nagysága, $\ell$ a szalag hossza, $T$ a hőmérséklet, $\ell_0$ a szalag erőmentes hossza, $a$ pozitív állandó.</wlatex>
+
</noinclude><wlatex># Egy gumiszalag állapotegyenlete $f=aT\left({\textstyle \frac{\ell}{\ell_0}}-{\left({\textstyle \frac{\ell_0}{\ell}}\right)}^2\right)$ alakba írható, ahol $f$ a szalagban fellépő húzóerő nagysága, $\ell$ a szalag hossza, $T$ a hőmérséklet, $\ell_0$ a szalag erőmentes hossza, $a$ pozitív állandó.</wlatex>
−
#* a) <wlatex>Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható a vizsgált esetre a $p\to -f$ és $V\to l$ helyettesítéssel.}}</wlatex></includeonly>
+
#* a) <wlatex>Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható a vizsgált esetre a $p\to -f$ és $V\to \ell$ helyettesítéssel.}}</wlatex></includeonly>
−
#* b) <wlatex>Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia- és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
+
#* b) <wlatex>Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazzuk az ''a)'' pontban leírt fenti változócseréket!}}{{Végeredmény|content=$$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+f\mathrm{d}\ell$$}}</wlatex></includeonly>
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazzuk az ''a)'' pontban leírt fenti változócseréket!}}{{Végeredmény|content=$$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+f\mathrm{d}\ell$$}}</wlatex></includeonly>
 
#* c) <wlatex>Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban $\ell_0$-ról $2\ell_0$-ra növeljük.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtételt, és vegyük figyelembe az ''a)'' részfeladat eredményét!}}{{Végeredmény|content=$$W=Q_\text{le}=\int_{\ell_0}^{2\ell_0}f\mathrm{d}\ell$$}}</wlatex></includeonly>
 
#* c) <wlatex>Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban $\ell_0$-ról $2\ell_0$-ra növeljük.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtételt, és vegyük figyelembe az ''a)'' részfeladat eredményét!}}{{Végeredmény|content=$$W=Q_\text{le}=\int_{\ell_0}^{2\ell_0}f\mathrm{d}\ell$$}}</wlatex></includeonly>
−
#* d) <wlatex>Igazoljuk, hogy a fonal hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Hasonlítsuk össze a fundamentális egyenletet és az $U(T, \ell)$ függvény teljes differenciálját, és vegyük figyelembe az ''(a)'' részfeladat eredményét!}}{{Végeredmény|content=$$\left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S=\frac{f}{C_\ell}>0,$$ ahol $C_ell$ az állandó hossznál mért hőkapacitás.}}</wlatex></includeonly>
+
#* d) <wlatex>Igazoljuk, hogy a gumiszalag hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Hasonlítsuk össze a fundamentális egyenletet és az $U(T, \ell)$ függvény teljes differenciálját, és vegyük figyelembe az ''(a)'' részfeladat eredményét!}}{{Végeredmény|content=$$\left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S=\frac{f}{C_\ell}>0,$$ ahol $C_ell$ az állandó hossznál mért hőkapacitás.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>'''a)''' Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|általános változócseréről]] szóló feladatban tárgyaltak szerint a belső energia térfogatfüggésére $p\to -f$ és $V\to\ell$ általános változócserével belátható, hogy
 +
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T = f - T \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_\ell
 +
    = f - T \frac{f}{T} = 0, $$
 +
ahol a második átalakítás a kijelölt deriválás elvégzésével adódott.
 +
 
 +
'''b)''' $p\to -f$ és $V\to\ell$ általános változócserét alkalmazva
 +
$$ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S+f\,\mathrm{d}\ell, $$
 +
amiből Legendre-transzformációval
 +
$$ \mathrm{d}F = \mathrm{d}\left(U-TS\right) = f\,\mathrm{d}\ell-S\,\mathrm{d}T $$
 +
és
 +
$$ \mathrm{d}G = \mathrm{d}\left(U-TS-f\ell\right) = -\ell\,\mathrm{d}f-S\,\mathrm{d}T. $$
 +
 
 +
'''c)''' Az első főtétel értelmében
 +
$$ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, $$
 +
ahol ''a)'' részben beláttuk, hogy ebben a speciális esetben a állandó hőmérsékleten $U$ nem függ a szalag hosszától, azaz $ \mathrm{d}U = 0 $:
 +
$$ \delta Q= -\mathrm{d}W= - f \,\mathrm{d}\ell $$
 +
 
 +
A nyújtás hatására ($\mathrm{d}\ell>0$) a gumiszalag hőt ad le:
 +
$$ \Delta Q= -\Delta W = -\int_{\ell_0}^{2\ell_0} f\,\mathrm{d}\ell
 +
    = \int_{\ell_0}^{2\ell_0} aT\left( \left(\frac{\ell_0}{\ell}\right)^2-\frac{\ell}{\ell_0}\right)\,\mathrm{d}\ell
 +
    = aT \left[-\frac{\ell_0^2}{\ell}-\frac{\ell^2}{2 \ell_0}\right]_{\ell_0}^{2 \ell_0} = -aT \ell_0$$
 +
 
 +
'''d)''' Az első főtétel értelmében
 +
$$ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, $$
 +
ahol adiabatikus esetben $ \delta Q=0 $, így
 +
$$ \mathrm{d}U = f\,\mathrm{d}\ell. $$
 +
Másrészt definíció szerint
 +
$$ \mathrm{d}U = C_\ell\,\mathrm{d}T, $$
 +
amiből
 +
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S = \frac f{C_\ell}. $$
 +
 
 +
Természetesen $f>0$, $C_\ell>0$ és megnyújtáskor $\mathrm{d}\ell>0$ ezért $\mathrm{d}T>0$.
 +
 
 +
== Megjegyzés ==
 +
Az állandó hosszon mért hőkapacitás definíciójához
 +
$$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T\,\mathrm{d}\ell $$
 +
teljes differenciálból juthatunk $\mathrm{d}\ell=0$ esetben:
 +
$$ C_\ell = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell. $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 24., 18:46-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy gumiszalag állapotegyenlete \setbox0\hbox{$f=aT\left({\textstyle \frac{\ell}{\ell_0}}-{\left({\textstyle \frac{\ell_0}{\ell}}\right)}^2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakba írható, ahol \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szalagban fellépő húzóerő nagysága, \setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szalag hossza, \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a hőmérséklet, \setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szalag erőmentes hossza, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pozitív állandó.
    • a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!
    • b) Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
    • c) Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban \setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ról \setbox0\hbox{$2\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra növeljük.
    • d) Igazoljuk, hogy a gumiszalag hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!

Megoldás

a) Az általános változócseréről szóló feladatban tárgyaltak szerint a belső energia térfogatfüggésére \setbox0\hbox{$p\to -f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V\to\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% általános változócserével belátható, hogy

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T = f - T \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_\ell = f - T \frac{f}{T} = 0, \]

ahol a második átalakítás a kijelölt deriválás elvégzésével adódott.

b) \setbox0\hbox{$p\to -f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V\to\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% általános változócserét alkalmazva

\[ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S+f\,\mathrm{d}\ell, \]

amiből Legendre-transzformációval

\[ \mathrm{d}F = \mathrm{d}\left(U-TS\right) = f\,\mathrm{d}\ell-S\,\mathrm{d}T \]

és

\[ \mathrm{d}G = \mathrm{d}\left(U-TS-f\ell\right) = -\ell\,\mathrm{d}f-S\,\mathrm{d}T. \]

c) Az első főtétel értelmében

\[ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, \]

ahol a) részben beláttuk, hogy ebben a speciális esetben a állandó hőmérsékleten \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem függ a szalag hosszától, azaz \setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U = 0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ \delta Q= -\mathrm{d}W= - f \,\mathrm{d}\ell \]

A nyújtás hatására (\setbox0\hbox{$\mathrm{d}\ell>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a gumiszalag hőt ad le:

\[ \Delta Q= -\Delta W = -\int_{\ell_0}^{2\ell_0} f\,\mathrm{d}\ell = \int_{\ell_0}^{2\ell_0} aT\left( \left(\frac{\ell_0}{\ell}\right)^2-\frac{\ell}{\ell_0}\right)\,\mathrm{d}\ell = aT \left[-\frac{\ell_0^2}{\ell}-\frac{\ell^2}{2 \ell_0}\right]_{\ell_0}^{2 \ell_0} = -aT \ell_0\]

d) Az első főtétel értelmében

\[ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, \]

ahol adiabatikus esetben \setbox0\hbox{$ \delta Q=0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így

\[ \mathrm{d}U = f\,\mathrm{d}\ell. \]

Másrészt definíció szerint

\[ \mathrm{d}U = C_\ell\,\mathrm{d}T, \]

amiből

\[ \left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S = \frac f{C_\ell}. \]

Természetesen \setbox0\hbox{$f>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$C_\ell>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és megnyújtáskor \setbox0\hbox{$\mathrm{d}\ell>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ezért \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Megjegyzés

Az állandó hosszon mért hőkapacitás definíciójához

\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T\,\mathrm{d}\ell \]

teljes differenciálból juthatunk \setbox0\hbox{$\mathrm{d}\ell=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben:

\[ C_\ell = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Gumiszalag_termodinamikai_potenciáljai&oldid=10115”