„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén a potenciáltér” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
40. sor: | 40. sor: | ||
$$E=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=-\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\right)$$ | $$E=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=-\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\right)$$ | ||
− | Mely megadja a kérdéses pontban a térerősséget. Ezt vessük össze az [[Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér|Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér]] feladat megoldásával, ahol ugyanezen | + | Mely megadja a kérdéses pontban a térerősséget. Ezt vessük össze az [[Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér|Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér]] feladat megoldásával, ahol ugyanezen elrendezés elektromos terét kellett meghatározni térerősség vektorok összegzésével: |
$$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$ | $$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$ | ||
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. szeptember 13., 13:28-kori változata
Feladat
- sugarú szigetelő körlemezre töltést viszünk egyenletes felületi töltéssűrűséggel. A kör középpontja felett, a kör síkjától távolságra mekkora a potenciál?
Megoldás
Először határozzuk meg a felület töltéssűrűségét:
Ezt követően parametrizáljuk a körlap felületét és polárkoordináták szerint. Válasszunk ki egy szög alatt látszódó, a középponttól távolságra levő kicsiny felületdarabot, melynek sugár irányú szélessége (1. ábra). Ezen infinitezimális felületelem töltése:
Ezen infinitezimális felületelem ponttöltésnek tekinthető, melynek potenciál járuléka a kérdéses pontban:
Ahol a felületelem és a kérdéses pont távolsága. Ha a teljes felület által keltett potenciálra vagyunk kíváncsiak, a szuperpozíció elve alapján skalárisan összegeznünk kell az egyes felületelemek potenciál járulékait:
Behelyettesítve a felületi töltéssűrűségre kapott összefüggést:
Érdekesség: Érdemes kiszámítani a kapott potenciál negatív gradiensét:
Mely megadja a kérdéses pontban a térerősséget. Ezt vessük össze az Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér feladat megoldásával, ahol ugyanezen elrendezés elektromos terét kellett meghatározni térerősség vektorok összegzésével: