„Elektrosztatika példák - Speciálisan töltött körvezető tengelye mentén az elektromos tér” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | [[Kép:KFGY2-1- | + | [[Kép:KFGY2-1-13uj.png|360px]] |
A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\varphi$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $d\varphi$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $dQ$ töltése a következő: | A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\varphi$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $d\varphi$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $dQ$ töltése a következő: |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 18:25-kori változata
Feladat
- Egy vékony szigetelő drótot
sugarú kör alakúra hajlítunk, és
lineáris töltéssűrűséggel látunk el, ahol
a drót kezdőpontja és az aktuális hely közötti középponti szög. Határozzuk meg, és ábrázoljuk a térerősséget a kör tengelyén a kör síkjától mért
távolság függvényében!
Megoldás
A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható szög szerint parametrizáljuk, a kört
szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem
töltése a következő:
![\[dQ=R\lambda d\varphi=R\lambda_0sin^2\varphi d\varphi\]](/images/math/f/4/2/f420796f74ba135e8234d0f9d7d2e1dc.png)
Az elemi ívelem és a kérdéses pont távolsága:
![\[s=\sqrt{R^2+z^2}\]](/images/math/6/6/8/668184bddcf1502d60cd8e593050058a.png)
A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab térerősség járulékát:
![\[dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{R\lambda_0sin^2\varphi}{s^2}d\varphi \]](/images/math/0/0/2/002154ae5cee802c26b5b6ad17d4f9ff.png)
A rendszer hengerszimmetriája miatt a térerősség járulékok tengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a
irányú komponensek összegződnek. A
térerősség
irányú komponense:
![\[dE_{z}=dEcos(\theta)\]](/images/math/a/7/6/a7683ce2b0138eeb57c5ec6dda08c86c.png)
Ahol a
tengely és
által bezárt szög:
![\[cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\]](/images/math/f/4/a/f4adb43fab6f639d17e4ba34c2966177.png)
![\[dE_{z}=\dfrac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}sin^2\varphi d\varphi\]](/images/math/2/7/2/2722df9557deed6dd3693b8865e07f92.png)
Összegezzük az elemi ívdarabok irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:
![\[ E=\int_0^{2\pi}dE_z=\dfrac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} sin^2\varphi d\varphi\]](/images/math/1/a/4/1a4c93725ba30da690aa1daa265b7a3d.png)
Az integrált kiértékelve megkapjuk a térerősséget:
![\[E=\dfrac{\lambda_0 R}{4\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/6/7/3/673a6c7af6055806a6e118a141b28be8.png)