„Termodinamika példák - Hőmérsékletváltozás mérhető mennyiségekkel adiabatikus tágulásban” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger [[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]…”) |
|||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy 4 \,^\circ C alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl! | + | </noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $4 \,\mathrm{^\circ C}$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl! |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az I. főtételt, írjuk be az $U(T,V)$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] eredményét]! A víz hőtágulási együtthatója $4\,\mathrm{^\circ C}$ alatt negatív.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az I. főtételt, írjuk be az $U(T,V)$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] eredményét]! A víz hőtágulási együtthatója $4\,\mathrm{^\circ C}$ alatt negatív.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Az első főtétel |
+ | $$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V $$ | ||
+ | adiabatikus folyamatra egyszerűsödik: | ||
+ | $$ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. $$ | ||
+ | |||
+ | Ezt egyenlővé téve $U(T,V)$ | ||
+ | $$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V$$ | ||
+ | alakú teljes differenciáljával és felhasználva $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$ definíciót | ||
+ | $$ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V $$ | ||
+ | egyenletet kapjuk. | ||
+ | |||
+ | Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|előző feladatból]] ismerjük (vagy [[Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként|egy következő feladat]] alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést: | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,$$ | ||
+ | így az egyenletünk: | ||
+ | $$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V$$ | ||
+ | |||
+ | A [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} $$ | ||
+ | eredményét felhasználva: | ||
+ | $$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, $$ | ||
+ | amiből | ||
+ | $$ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. $$ | ||
+ | |||
+ | $ T_\text{víz} < \left(273+4\right)K $ hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív: | ||
+ | $$ -\beta_p > 0, $$ | ||
+ | ezért összenyomásra ($\mathrm{d}V<0$) | ||
+ | $$ \mathrm{d}T < 0, $$ | ||
+ | hiszen a többi tényező pozitív. | ||
+ | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 16., 21:25-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Homogén rendszerek |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer
hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során
-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy
alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!
Megoldás
Az első főtétel
![\[ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V \]](/images/math/d/d/8/dd8451043d8139e9eac92b78b7bb4805.png)
adiabatikus folyamatra egyszerűsödik:
![\[ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. \]](/images/math/f/4/0/f400341b0db6f9931c0c1e47f7318aad.png)
Ezt egyenlővé téve
![\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V\]](/images/math/a/f/e/afe6daafddfefdf1c50ffb68ff0c212c.png)
alakú teljes differenciáljával és felhasználva definíciót
![\[ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V \]](/images/math/c/f/0/cf08a82fc1497090a39526d7a5348af3.png)
egyenletet kapjuk.
Az előző feladatból ismerjük (vagy egy következő feladat alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:
![\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,\]](/images/math/3/f/a/3fa36d0c2000c91782c525c3d04f8dc2.png)
így az egyenletünk:
![\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V\]](/images/math/4/1/3/413ac2a05d61ef446e4f0d1950d774dc.png)
A nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat
![\[ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} \]](/images/math/6/d/0/6d06e64082b87d57e19f008be86e2f00.png)
eredményét felhasználva:
![\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, \]](/images/math/d/a/d/dadf8f8b5faa551ebfb216a447565e91.png)
amiből
![\[ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. \]](/images/math/1/4/f/14f9ac865ebd892aa4587ea4166a3ffe.png)
hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív:
![\[ -\beta_p > 0, \]](/images/math/e/a/b/eabf1fe381d67e754e92347508e3330b.png)
ezért összenyomásra ()
![\[ \mathrm{d}T < 0, \]](/images/math/1/d/e/1debf7c9091065bf1ed11dc054b93afa.png)
hiszen a többi tényező pozitív.