„Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele.)
11. sor: 11. sor:
 
</noinclude><wlatex># Bizonyítsuk be a $\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$, $\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$, $\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V$ és $\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S$ összefüggéseket!
 
</noinclude><wlatex># Bizonyítsuk be a $\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$, $\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$, $\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V$ és $\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S$ összefüggéseket!
 
</wlatex><noinclude>
 
</wlatex><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>$$\boxed{U(S,V,N) = TS-pV+\mu N}$$
+
<wlatex>Számításainkat nem csak a feladatban előírt, hanem minden termodinamikai potenciálra elvégezzük.
 +
$$\boxed{U(S,V,N) = TS-pV+\mu N}$$
 
$$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V+\mu\,\mathrm{d}N$$
 
$$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V+\mu\,\mathrm{d}N$$
 
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -p, $$
 
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -p, $$

A lap 2013. május 20., 12:52-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Bizonyítsuk be a \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggéseket!

Megoldás

Számításainkat nem csak a feladatban előírt, hanem minden termodinamikai potenciálra elvégezzük.

\[\boxed{U(S,V,N) = TS-pV+\mu N}\]
\[ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V+\mu\,\mathrm{d}N\]
\[ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -p, \]
\[ \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,S} = \mu. \]

A továbbiakban a kémiai potenciáltól és részecskeszámtól való függést nem írjuk ki.

A termodinamikai potenciálokon hajtsuk végre a Legendre-transzformációt, ezt az alakot vessük össze a potenciál teljes differenciáljával:

\[ \boxed{F(T,V)=U-TS} \]
\[ \mathrm{d}F = \mathrm{d}U-S\,\mathrm{d}T-T\,\mathrm{d}S = -S\,\mathrm{d}T - p\,\mathrm{d}V = \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V, \]
\[ \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S, \qquad \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = -p. \]


\[ \boxed{H(S,p)=U+pV} \]
\[ \mathrm{d}H = \mathrm{d}U+V\,\mathrm{d}p+p\,\mathrm{d}V = T\,\mathrm{d}S + V\,\mathrm{d}p = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p \mathrm{d}S + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S \mathrm{d}p, \]
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p = T, \qquad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S = V. \]


\[ \boxed{G(T,p)=H-TS=U+pV-TS} \]
\[ \mathrm{d}G = \mathrm{d}U+V\,\mathrm{d}p+p\,\mathrm{d}V-S\,\mathrm{d}T-T\,\mathrm{d}S = -S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}p = \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T \mathrm{d}p, \]
\[ \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S, \qquad \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V. \]

Megjegyezzük, hogy \setbox0\hbox{$G(T,p,N)=\mu(T,p)\cdot N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,p}=\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_A_termodinamika_differenciális_összefüggései&oldid=9954”