„Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger [[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]…”) |
a (Szöveg koherenssé tétele.) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a $\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$ egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – $X$ intenzív- és $\xi$ extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a $p\to-X$ és a $V\to\xi$ változócserét!</wlatex><noinclude> | </noinclude><wlatex># Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a $\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$ egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – $X$ intenzív- és $\xi$ extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a $p\to-X$ és a $V\to\xi$ változócserét!</wlatex><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Az első főtétel az új változókkal |
+ | $$ T\,\mathrm{d}S=\,\mathrm{d}U-X\,\mathrm{d}\xi. $$ | ||
+ | Az $U(S,\xi)$ függvény teljes differenciálja | ||
+ | $$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T \,\mathrm{d}\xi, $$ | ||
+ | aminek segítségével | ||
+ | $$ \mathrm{d}S = \frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \,\mathrm{d}T | ||
+ | + \frac{1}{T} \left( \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T - X \right) \,\mathrm{d}\xi. $$ | ||
+ | |||
+ | A Young-tétel szerint $S(T,\xi)$ vegyes második parciális deriváltjai egyenlőek: | ||
+ | $$ \frac{\partial}{\partial \xi} \left(\frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \right) | ||
+ | = \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T - \frac{X}{T} \right), $$ | ||
+ | $$ \frac{1}{T} \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial T} | ||
+ | = -\frac{1}{T^2}\frac{\partial U}{\partial \xi} + \frac{1}{T} \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial T} | ||
+ | -\frac{1}{T} \frac{\partial X}{\partial T} + \frac{X}{T^2}, $$ | ||
+ | azaz $T^2$-tel való szorzás után | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$ | ||
+ | |||
+ | Természetesen a levezetés $X=-p$, $\xi=V$ esetben is igaz. | ||
+ | |||
+ | == Másik bizonyítás == | ||
+ | |||
+ | Az első főtétel az új változókkal | ||
+ | $$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S + X\,\mathrm{d}\xi $$ | ||
+ | felírt alakját osszuk le formálisan $\mathrm{d}\xi$-vel állandó hőmérsékleten: | ||
+ | |||
+ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial \xi}\right)_T + X, $$ | ||
+ | ahol használjuk az új változókban $U(S,\xi)$ teljes differenciálból levezethető | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial S}{\partial \xi}\right)_T = -\left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi $$ | ||
+ | [[Termodinamika példák - Maxwell-relációk|Maxwell-relációt]]: | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$ | ||
+ | |||
+ | Természetesen a levezetés $X=-p$, $\xi=V$ esetben is igaz. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 20., 13:59-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Homogén rendszerek |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – intenzív- és extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a és a változócserét!
Megoldás
Az első főtétel az új változókkal
Az függvény teljes differenciálja
aminek segítségével
A Young-tétel szerint vegyes második parciális deriváltjai egyenlőek:
azaz -tel való szorzás után
Természetesen a levezetés , esetben is igaz.
Másik bizonyítás
Az első főtétel az új változókkal
felírt alakját osszuk le formálisan -vel állandó hőmérsékleten:
ahol használjuk az új változókban teljes differenciálból levezethető
Természetesen a levezetés , esetben is igaz.