„Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
a (Szöveg koherenssé tétele)
 
(egy szerkesztő 9 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\varepsilon(T)$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $E$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtétel $\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$ alakját, az $U(P, T)$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($P$) segítségével a $-p\to E$ és $V\to P$ helyettesítéssel: ${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$. Alkalmazzuk még a $P={\varepsilon}_ 0\left(\varepsilon-1\right)EV$ összefüggést is!}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}E^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\varepsilon_r(T)$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $E$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtétel $\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$ alakját, az $U(P, T)$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($P$) segítségével a $-p\longrightarrow E$ és $V\longrightarrow P$ helyettesítéssel: ${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$. Alkalmazzuk még a $P={\varepsilon}_0\left(\varepsilon_r-1\right)EV$ összefüggést is!}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}E^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat, az intenzív $\mathbf{E}$ elektromos térerősséget és extenzív $\mathbf{P}$ polarizációt. Ezt legegyszerűbben a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócsere]] során megállapított analógia alapján tehetjük meg:
 +
{| style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
 +
| align="right" | $-p$ || $\longrightarrow$ || $\mathbf{E}$,
 +
|-
 +
| align="right" | $V$ || $\longrightarrow$ || $\mathbf{P}$,
 +
|-
 +
| align="right" | $\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$ || $\longrightarrow$ || $\delta Q = \mathrm{d}U - \mathbf{E}\,\mathbf{\mathrm{d}P}$.
 +
|}
 +
 
 +
Mivel a $\varepsilon(T)$ dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, $\mathbf{E}\,\mathbf{\mathrm{d}P}=E\,\mathrm{d}P$.
 +
A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):
 +
$$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T\,\mathrm{d}P, $$
 +
ahol a második paramétert a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócseréről szóló feladatban]] levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:
 +
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P + E. $$
 +
Mivel az elektromos teret állandó hőmérséklet mellet kapcsoljuk be, $\mathrm{d}T=0$, a hő kifejezésében egyetlen tag marad:
 +
$$ \delta Q = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P \,\mathrm{d}P. $$
 +
 
 +
A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}$) definíciójából indulunk ki:
 +
$$ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, $$
 +
amiből
 +
$$ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad
 +
  \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T}. $$
 +
 
 +
Ezzel
 +
$$ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \cdot P \,\mathrm{d}P, $$
 +
amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó (magas hőmérsékleten $\varepsilon_r$ valóban nem függ $P$-től, azaz $E$-től):
 +
$$ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \frac{P^2}{2}. $$
 +
Ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve
 +
$$ Q=-\frac12T\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}\varepsilon_0E^2V $$
 +
egyszerűbb alakot nyerjük.
 +
 
 +
== Megjegyzés ==
 +
Eredményünk az elektromos eltolás $\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r(T)\mathbf{E}$ definíciójával
 +
$$ Q=-\frac12\mathbf{DE}\frac{T}{\varepsilon_r(T)}\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}V $$
 +
vektoros alakban is érvényes.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 24., 18:53-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mennyi hő szabadul fel az \setbox0\hbox{$\varepsilon_r(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.

Megoldás

A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat, az intenzív \setbox0\hbox{$\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos térerősséget és extenzív \setbox0\hbox{$\mathbf{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% polarizációt. Ezt legegyszerűbben a változócsere során megállapított analógia alapján tehetjük meg:

\setbox0\hbox{$-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%,
\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\mathbf{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%,
\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U - \mathbf{E}\,\mathbf{\mathrm{d}P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Mivel a \setbox0\hbox{$\varepsilon(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, \setbox0\hbox{$\mathbf{E}\,\mathbf{\mathrm{d}P}=E\,\mathrm{d}P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):

\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T\,\mathrm{d}P, \]

ahol a második paramétert a változócseréről szóló feladatban levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P + E. \]

Mivel az elektromos teret állandó hőmérséklet mellet kapcsoljuk be, \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a hő kifejezésében egyetlen tag marad:

\[ \delta Q = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P \,\mathrm{d}P. \]

A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció (\setbox0\hbox{$\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) definíciójából indulunk ki:

\[ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, \]

amiből

\[ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T}. \]

Ezzel

\[ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \cdot P \,\mathrm{d}P, \]

amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó (magas hőmérsékleten \setbox0\hbox{$\varepsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valóban nem függ \setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-től, azaz \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-től):

\[ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \frac{P^2}{2}. \]

Ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve

\[ Q=-\frac12T\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}\varepsilon_0E^2V \]

egyszerűbb alakot nyerjük.

Megjegyzés

Eredményünk az elektromos eltolás \setbox0\hbox{$\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r(T)\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% definíciójával

\[ Q=-\frac12\mathbf{DE}\frac{T}{\varepsilon_r(T)}\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}V \]

vektoros alakban is érvényes.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Dielektromos_polarizáció_termodinamikai_vonatkozása&oldid=10116”