„Termodinamika példák - Maxwell-relációk” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
 
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Bizonyítsuk be a $\displaystyle {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V={\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T$ Maxwell-összefüggést!</wlatex><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Bizonyítsuk be a $\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$ Maxwell-összefüggést!</wlatex><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>A Maxwell-relációk a termodinamikai potenciálok kétszeres parciális deriváltjainak Young-tétel szerinti megfeleltetéséből kaphatóak. Számításainkat nem csak a feladatban előírt, hanem minden termodinamikai potenciálra elvégezzük.
 +
 
 +
Az [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|előző feladat]] alapján a termodinamika differenciális összefüggései $\boxed{U(S,V)}$-re:
 +
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S = -p. $$
 +
A Young-tétel értelmében
 +
$$ \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = \frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S, $$
 +
azaz
 +
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V. $$
 +
 
 +
Az [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|előző feladat]] alapján a termodinamika differenciális összefüggései $\boxed{F(T,V)}$-re:
 +
$$ \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S, \qquad \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = -p. $$
 +
A Young-tétel értelmében
 +
$$ \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V, $$
 +
azaz
 +
$$ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T $$
 +
a keresett összefüggés.
 +
 
 +
Hasonlóan $\boxed{H(S,p)}$-re
 +
$$ \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p = T, \qquad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S = V. $$
 +
Innen
 +
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p, $$
 +
ami a keresett összefüggés reciprokára hasonlít, de vegyük észre, hogy a rögzített változók mások.
 +
 
 +
Analóg módon $\boxed{G(T,p)}$-re
 +
$$ \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p = -S, \qquad \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T = V. $$
 +
Innen
 +
$$ -\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p. $$
 +
 
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 24., 17:40-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Bizonyítsuk be a \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Maxwell-összefüggést!

Megoldás

A Maxwell-relációk a termodinamikai potenciálok kétszeres parciális deriváltjainak Young-tétel szerinti megfeleltetéséből kaphatóak. Számításainkat nem csak a feladatban előírt, hanem minden termodinamikai potenciálra elvégezzük.

Az előző feladat alapján a termodinamika differenciális összefüggései \setbox0\hbox{$\boxed{U(S,V)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S = -p. \]

A Young-tétel értelmében

\[ \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = \frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S, \]

azaz

\[ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V. \]

Az előző feladat alapján a termodinamika differenciális összefüggései \setbox0\hbox{$\boxed{F(T,V)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re:

\[ \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S, \qquad \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = -p. \]

A Young-tétel értelmében

\[ \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V, \]

azaz

\[ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \]

a keresett összefüggés.

Hasonlóan \setbox0\hbox{$\boxed{H(S,p)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re

\[ \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p = T, \qquad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S = V. \]

Innen

\[ \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p, \]

ami a keresett összefüggés reciprokára hasonlít, de vegyük észre, hogy a rögzített változók mások.

Analóg módon \setbox0\hbox{$\boxed{G(T,p)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re

\[ \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p = -S, \qquad \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T = V. \]

Innen

\[ -\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p. \]


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Maxwell-relációk&oldid=10108”