„Termodinamika példák - Hőmérsékletváltozás mérhető mennyiségekkel adiabatikus tágulásban” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger [[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]…”) |
a |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy 4 \,^\circ C alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl! | + | </noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $4 \,\mathrm{^\circ C}$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl! |
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az első főtételt, írjuk be az $U(T,V)$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] eredményét! A víz hőtágulási együtthatója $4\,\mathrm{^\circ C}$ alatt negatív.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Az első főtétel |
+ | $$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V $$ | ||
+ | adiabatikus folyamatra egyszerűsödik: | ||
+ | $$ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. $$ | ||
+ | |||
+ | Ezt egyenlővé téve $U(T,V)$ | ||
+ | $$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V$$ | ||
+ | alakú teljes differenciáljával és felhasználva $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$ definíciót | ||
+ | $$ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V $$ | ||
+ | egyenletet kapjuk. | ||
+ | |||
+ | Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|általános változócseréről]] szóló feladatból ismerjük (vagy [[Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként|egy következő feladat]] alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést: | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,$$ | ||
+ | így az egyenletünk | ||
+ | $$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V. $$ | ||
+ | |||
+ | A [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} $$ | ||
+ | eredményét felhasználva: | ||
+ | $$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, $$ | ||
+ | amiből | ||
+ | $$ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. $$ | ||
+ | |||
+ | $ T_\text{víz} < \left(273+4\right)\,\mathrm{K} $ hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív ($ -\beta_p > 0 $), ezért adiabatikus összenyomásra ($\mathrm{d}V<0$) a hőmérsékletváltozás | ||
+ | $$ \mathrm{d}T < 0, $$ | ||
+ | hiszen a többi tényező pozitív. | ||
+ | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 21., 13:02-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Homogén rendszerek |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során -vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!
Megoldás
Az első főtétel
adiabatikus folyamatra egyszerűsödik:
Ezt egyenlővé téve
alakú teljes differenciáljával és felhasználva definíciót
egyenletet kapjuk.
Az általános változócseréről szóló feladatból ismerjük (vagy egy következő feladat alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:
így az egyenletünk
A nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat
eredményét felhasználva:
amiből
hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív (), ezért adiabatikus összenyomásra () a hőmérsékletváltozás
hiszen a többi tényező pozitív.