„Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása” változatai közötti eltérés
| 26. sor: | 26. sor: | ||
$$ \delta Q = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P \mathrm{d}P. $$ | $$ \delta Q = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P \mathrm{d}P. $$ | ||
A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}) definíciójából indulunk ki: | A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}) definíciójából indulunk ki: | ||
| − | $$ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r( | + | $$ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, $$ |
amiből | amiből | ||
| − | $$ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r( | + | $$ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad |
| − | \left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r( | + | \left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} $$ |
| + | Ezzel | ||
| + | $$ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} \cdot P \mathrm{d}P, $$ | ||
| + | amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó | ||
| + | $$ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} P^2, $$ | ||
| + | ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve | ||
| + | $$ Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}E^2 $$ | ||
| + | egyszerűbb alakot kapjuk. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 5., 23:15-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Homogén rendszerek |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Mennyi hő szabadul fel az
dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy 
értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.
Megoldás
A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív 
elektromos térerősséget és extenzív 
polarizációt, ezt legegyszerűbben a változócsere során megállapított analógia alapján tehetjük meg:
 |
 |
,
|
 |
|
|
 |
|
|
Mivel a dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, 
.
A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):
![\[ \mathrm{d}U = \left[\frac{\partial U}{\partial T}\right]_P\mathrm{d}T + \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T\mathrm{d}P, \]](/images/math/2/7/8/278eabb553c7e23d7e2719d60050921d.png)
ahol a második paramétert a változócseréről szóló feladatban levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:
![\[ \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P + E. \]](/images/math/c/b/e/cbe921d80b8bc1eb2ee0b638f9b27bfe.png)
Mivel az elektromos teret álandó hőmérséklet mellet kapcsoljuk be, 
, a hő kifejezésében egyetlen tag marad:
![\[ \delta Q = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P \mathrm{d}P. \]](/images/math/e/e/a/eea79788d13a224a1c0632f84976b81e.png)
A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}) definíciójából indulunk ki:
![\[ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, \]](/images/math/a/0/a/a0a444b5016c32a14ec79b2aaff9639e.png)
amiből
![\[ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad \left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} \]](/images/math/d/1/d/d1da1eae49443836dcc1eac9e5da4573.png)
Ezzel
![\[ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} \cdot P \mathrm{d}P, \]](/images/math/d/d/2/dd205accd986919093d90490099d25d0.png)
amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó
![\[ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} P^2, \]](/images/math/c/5/9/c596f653f9a03d6e7a1c367ca28f9829.png)
ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve
![\[ Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}E^2 \]](/images/math/e/f/c/efc7bfe4601ed0225ea56a311af50509.png)
egyszerűbb alakot kapjuk.
