„Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása” változatai közötti eltérés
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\ | + | </noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\varepsilon_r(T)$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $E$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtétel $\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$ alakját, az $U(P, T)$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($P$) segítségével a $-p\to E$ és $V\to P$ helyettesítéssel: ${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$. Alkalmazzuk még a $P={\varepsilon}_ 0\left(\varepsilon-1\right)EV$ összefüggést is!}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}E^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív $\mathbf{E}$ elektromos térerősséget és extenzív $\mathbf{P}$ polarizációt, ezt legegyszerűbben a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócsere]] során megállapított analógia alapján tehetjük meg: | <wlatex>A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív $\mathbf{E}$ elektromos térerősséget és extenzív $\mathbf{P}$ polarizációt, ezt legegyszerűbben a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócsere]] során megállapított analógia alapján tehetjük meg: | ||
| 31. sor: | 31. sor: | ||
\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} $$ | \left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} $$ | ||
Ezzel | Ezzel | ||
| − | $$ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \ | + | $$ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \cdot P \mathrm{d}P, $$ |
amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó | amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó | ||
| − | $$ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \ | + | $$ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \frac{P^2}{2}, $$ |
ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve | ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve | ||
| − | $$ Q=-\frac12T | + | $$ Q=-\frac12T\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}\varepsilon_0E^2V $$ |
egyszerűbb alakot kapjuk. | egyszerűbb alakot kapjuk. | ||
| + | |||
| + | == Megjegyzés == | ||
| + | Eredményünk az elektromos eltolás $\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r(T)\mathbf{E}$ definíciójával | ||
| + | $$ Q=-\frac12\mathbf{DE}\frac{T}{\varepsilon_r(T)}\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}V $$ | ||
| + | vektoros alakban is érvényes. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 5., 23:22-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Homogén rendszerek |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Mennyi hő szabadul fel az
dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy 
értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.
Megoldás
A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív 
elektromos térerősséget és extenzív 
polarizációt, ezt legegyszerűbben a változócsere során megállapított analógia alapján tehetjük meg:
 |
 |
,
|
 |
|
|
 |
|
|
Mivel a 
dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, 
.
A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):
![\[ \mathrm{d}U = \left[\frac{\partial U}{\partial T}\right]_P\mathrm{d}T + \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T\mathrm{d}P, \]](/images/math/2/7/8/278eabb553c7e23d7e2719d60050921d.png)
ahol a második paramétert a változócseréről szóló feladatban levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:
![\[ \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P + E. \]](/images/math/c/b/e/cbe921d80b8bc1eb2ee0b638f9b27bfe.png)
Mivel az elektromos teret álandó hőmérséklet mellet kapcsoljuk be, 
, a hő kifejezésében egyetlen tag marad:
![\[ \delta Q = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P \mathrm{d}P. \]](/images/math/e/e/a/eea79788d13a224a1c0632f84976b81e.png)
A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}) definíciójából indulunk ki:
![\[ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, \]](/images/math/a/0/a/a0a444b5016c32a14ec79b2aaff9639e.png)
amiből
![\[ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad \left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} \]](/images/math/d/1/d/d1da1eae49443836dcc1eac9e5da4573.png)
Ezzel
![\[ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \cdot P \mathrm{d}P, \]](/images/math/9/8/3/9832558ddae2977b4788684b46c5cc60.png)
amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó
![\[ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \frac{P^2}{2}, \]](/images/math/8/b/f/8bfda3430b29de5971da1b36798fda67.png)
ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve
![\[ Q=-\frac12T\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}\varepsilon_0E^2V \]](/images/math/f/7/f/f7f966215724852ef216065d155f8b92.png)
egyszerűbb alakot kapjuk.
Megjegyzés
Eredményünk az elektromos eltolás 
definíciójával
![\[ Q=-\frac12\mathbf{DE}\frac{T}{\varepsilon_r(T)}\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}V \]](/images/math/3/3/0/330b24ea5323a48ed6664fbc8bc33503.png)
vektoros alakban is érvényes.
