„Termodinamika példák - Gumiszalag termodinamikai potenciáljai” változatai közötti eltérés

A lap 2013. április 16., 14:17-kori változata (lapforrás) Stippinger (vitalap | szerkesztései) ← Régebbi szerkesztés		A lap 2013. április 17., 19:23-kori változata (lapforrás) Stippinger (vitalap | szerkesztései) Újabb szerkesztés →
17. sor:		17. sor:
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
−	<wlatex>Megoldás szövege	+	<wlatex>'''a)''' Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|általános változócseréről]] szóló feladatban tárgyaltak szerint a belső energia térfogatfüggésére $p\to -f$ és $V\to\ell$ általános változócserével belátható:
		+	$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T = f - T \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_\ell
		+	= f - T \frac{f}{T} = 0, $$
		+	ahol a második átalakítás a kijelölt deriválás elvégzésével adódott.
		+
		+	'''b)''' $p\to -f$ és $V\to\ell$ általános változócserét alkalmazva
		+	$$ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S+f\,\mathrm{d}\ell, $$
		+	amiből Legendre-transzformációval
		+	$$ \mathrm{d}F = \mathrm{d}\left(U-TS\right) = f\,\mathrm{d}\ell-S\,\mathrm{d}T $$
		+	és
		+	$$ \mathrm{d}G = \mathrm{d}\left(U-TS-fl\right) = -\ell\,\mathrm{d}f-S\,\mathrm{d}T. $$
		+
		+	'''c)''' Az első főtétel értelmében
		+	$$ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, $$
		+	ahol ''a)'' részben beláttuk, hogy ebben a speciális esetben a állandó hőmérsékleten $U$ nem függ a szalag hosszától, azaz $ \mathrm{d}U = 0 $:
		+	$$ \delta Q= -\mathrm{d}W= - f \,\mathrm{d}\ell $$
		+
		+	A nyújtás hatására ($\mathrm{d}\ell>0$) a gumiszalag hőt ad le:
		+	$$ \Delta Q= -\Delta W = -\int_{\ell_0}^{2\ell_0} f\,\mathrm{d}\ell
		+	= \int_{\ell_0}^{2\ell_0} aT\left( \left(\frac{\ell_0}{\ell}\right)^2-\frac{\ell}{\ell_0}\right)\,\mathrm{d}\ell
		+	= aT \left(-\frac{\ell_0^2}{\ell}-\frac{\ell^2}{2 \ell_0}\right)_{\ell_0}^{2 \ell_0} = -aT \ell_0$$
		+
		+	'''d)''' Az első főtétel értelmében
		+	$$ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, $$
		+	ahol adiabatikus esetben $ \delta Q=0 $
		+	$$ \mathrm{d}U=f\,\mathrm{d}\ell, $$
		+	másrészt definíció szerint
		+	$$ \mathrm{d}U= C_\ell\,\mathrm{d}T, $$
		+	amiből
		+	$$ \left(\frac{\partial T}{\partial l}\right)_S=\frac f{C_l}. $$
		+
		+	Természetesen $f>0$, $C_\ell>0$ és megnyújtáskor $\mathrm{d}\ell>0$ ezért $\mathrm{d}T>0$.
		+
		+	== Megjegyzés ==
		+	Az állandó hosszon mért fajhő definíciójához
		+	$$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T\,\mathrm{d}\ell $$
		+	teljes differenciálból juthatunk $\mathrm{d}\ell=0$ esetben.
	</wlatex>		</wlatex>
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap 2013. április 17., 19:23-kori változata

[rejt] Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája: Kinetikus gázelmélet, transzport Állapotváltozás, I. főtétel Fajhő, Körfolyamatok Entrópia, II. főtétel Homogén rendszerek Fázisátalakulások Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája: TD diffegyenletek Maxwell-relációk Általános változócsere dT(S=áll) mérhetőkkel TdS mérhetőkkel Állapotjelzők (V,S) fv-ei dS(p=áll) mérhetőkkel Potenciálok állapotegyenletből Gumiszalag TD potenciáljai Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. Gumiszalag állapotegyenlete alakba írható, ahol a szalagban fellépő húzóerő nagysága, a szalag hossza, a hőmérséklet, a szalag erőmentes hossza, pozitív állandó.
   • a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!
   • b) Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia- és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
   • c) Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban -ról -ra növeljük.
   • d) Igazoljuk, hogy a fonal hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!

Megoldás

a) Az általános változócseréről szóló feladatban tárgyaltak szerint a belső energia térfogatfüggésére és általános változócserével belátható:

ahol a második átalakítás a kijelölt deriválás elvégzésével adódott.

b) és általános változócserét alkalmazva

amiből Legendre-transzformációval

és

c) Az első főtétel értelmében

ahol a) részben beláttuk, hogy ebben a speciális esetben a állandó hőmérsékleten nem függ a szalag hosszától, azaz :

A nyújtás hatására () a gumiszalag hőt ad le:

d) Az első főtétel értelmében

ahol adiabatikus esetben

másrészt definíció szerint

amiből

Természetesen , és megnyújtáskor ezért .

Megjegyzés

Az állandó hosszon mért fajhő definíciójához

teljes differenciálból juthatunk esetben.