Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása

Feladat

1. Mennyi hő szabadul fel az $\setbox0\hbox{$\varepsilon(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.

Megoldás

A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív $\setbox0\hbox{$\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos térerősséget és extenzív $\setbox0\hbox{$\mathbf{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ polarizációt, ezt legegyszerűbben a változócsere során megállapított analógia alapján tehetjük meg:

$\setbox0\hbox{$-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,
$\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\mathbf{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
$\setbox0\hbox{$\mathrm{d}U=\delta Q - p\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\mathrm{d}U=\delta Q + \mathbf{E}\mathbf{\mathrm{d}P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Mivel a $\setbox0\hbox{$\varepsilon(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, $\setbox0\hbox{$\mathbf{E}\mathbf{\mathrm{d}P}=E\mathrm{d}P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):

$\[ \mathrm{d}U = \left[\frac{\partial U}{\partial T}\right]_P\mathrm{d}T + \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T\mathrm{d}P, \]$

ahol a második paramétert a változócseréről szóló feladatban levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:

$\[ \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P + E. \]$