Termodinamika - Homogén rendszerek

Mérhető mennyiségek

$\setbox0\hbox{$\displaystyle C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	állandó térfogaton mért fajhő
$\setbox0\hbox{$\displaystyle C_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	állandó nyomáson mért fajhő
$\setbox0\hbox{$\displaystyle \beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	izobár hőtágulási együttható
$\setbox0\hbox{$\displaystyle \kappa_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	izoterm kompresszibilitás
$\setbox0\hbox{$\displaystyle \kappa_S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	adiabatikus kompresszibilitás

Feladatok

1. Bizonyítsuk be a $\setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéseket!
   Megoldás
   
   
2. Bizonyítsuk be a $\setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Maxwell-összefüggést!
   Megoldás
   
   
3. Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a $\setbox0\hbox{$\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – $\setbox0\hbox{$X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intenzív- és $\setbox0\hbox{$\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a $\setbox0\hbox{$p\to-X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a $\setbox0\hbox{$V\to\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változócserét!
   Megoldás
   
   
4. Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $\setbox0\hbox{$4 \,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!
   Útmutatás

   Írjuk fel az első főtételt, írjuk be az $\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat eredményét! A víz hőtágulási együtthatója $\setbox0\hbox{$4\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt negatív.
   Megoldás
   
   
5. Feltételezve, hogy $\setbox0\hbox{$S=S(p,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mutassuk ki, hogy $\setbox0\hbox{$T\,\mathrm{d}S=n C_p\,\mathrm{d}T-\beta_p TV\,\mathrm{d}p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az izobár hőtágulási együttható.
   Útmutatás

   Írjuk fel $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljes differenciálját, használjuk a $\setbox0\hbox{${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_p={\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)}_p{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ matematikai összefüggést, a termodinamika két differenciális összefüggését és a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definícióját.
   Megoldás
   
   
6. Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az $\setbox0\hbox{$U(S, V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényeként!
   Megoldás
   
   
7. Mennyivel változik egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú rendszer entrópiája, ha térfogata állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékkel megnő? Az állandó nyomáson mért $\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőt és a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együtthatót ismertnek tekintjük.
   Útmutatás

   Írjuk fel az $\setbox0\hbox{$S=S(p,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény teljes differenciálját állandó nyomáson, és alkalmazzuk $\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definícióját!
   Végeredmény

   $\[\mathrm{d}S=\frac{m c_p}{TV\beta_p}\,\mathrm{d}V\]$
   Megoldás
   
   
8. Egy rendszer állapotegyenlete $\setbox0\hbox{$pV=A(T)+B(T)\,p+C(T)\,p^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol a hőmérsékletfüggő együtthatók kísérletekből ismertek. Mennyit változik a rendszer szabad entalpiája és entrópiája, ha a nyomást rögzített $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten $\setbox0\hbox{$p_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re változtatjuk?
   Útmutatás

   Használjuk ki a $\setbox0\hbox{$\displaystyle V={\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)}_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$displaystyle S=-{\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)}_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéseket!
   Végeredmény

   $\[\Delta G=A\ln\left(\frac{p_1}{p_0}\right)+B\left(p_1-p_0\right)+C\frac{p_1^2-p_0^2}{2}\]$

   és

   $\[\Delta S=A'\ln\left(\frac{p_1}{p_0}\right)+B'\left(p_1-p_0\right)+C'\frac{p_1^2-p_0^2}{2},\]$

   ahol a vessző a hőmérséklet szerinti deriváltat jelenti.
   Megoldás
   
   
9. Egy gumiszalag állapotegyenlete $\setbox0\hbox{$f=aT\left({\textstyle \frac{\ell}{\ell_0}}-{\left({\textstyle \frac{\ell_0}{\ell}}\right)}^2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakba írható, ahol $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szalagban fellépő húzóerő nagysága, $\setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szalag hossza, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hőmérséklet, $\setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szalag erőmentes hossza, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pozitív állandó.
   • a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!
     Útmutatás

     A belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható a vizsgált esetre a $\setbox0\hbox{$p\to -f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V\to \ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítéssel.
   • b) Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
     Útmutatás

     Alkalmazzuk az a) pontban leírt fenti változócseréket!
     Végeredmény

     $\[\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+f\mathrm{d}\ell\]$
   • c) Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban $\setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$2\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra növeljük.
     Útmutatás

     Használjuk az I. főtételt, és vegyük figyelembe az a) részfeladat eredményét!
     Végeredmény

     $\[W=Q_\text{le}=\int_{\ell_0}^{2\ell_0}f\mathrm{d}\ell\]$
   • d) Igazoljuk, hogy a gumiszalag hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!
     Útmutatás

     Hasonlítsuk össze a fundamentális egyenletet és az $\setbox0\hbox{$U(T, \ell)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény teljes differenciálját, és vegyük figyelembe az (a) részfeladat eredményét!
     Végeredmény

     $\[\left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S=\frac{f}{C_\ell}>0,\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$C_ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az állandó hossznál mért hőkapacitás.
     Megoldás
     
     
10. Mennyi hő szabadul fel az $\setbox0\hbox{$\varepsilon_r(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.
    Útmutatás

    Használjuk az I. főtétel $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakját, az $\setbox0\hbox{$U(P, T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) segítségével a $\setbox0\hbox{$-p\longrightarrow E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V\longrightarrow P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítéssel: $\setbox0\hbox{${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Alkalmazzuk még a $\setbox0\hbox{$P={\varepsilon}_0\left(\varepsilon_r-1\right)EV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést is!
    Végeredmény

    $\[Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}E^2\]$
    Megoldás