Termodinamika példák - Entrópiaváltozás izobár táguláskor mérhető mennyiségekkel

Feladat

1. Mennyivel változik egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú rendszer entrópiája, ha térfogata állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékkel megnő? Az állandó nyomáson mért $\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőt és a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együtthatót ismertnek tekintjük.

Megoldás

Az átadott hőt $\setbox0\hbox{$ \delta Q=T\,\mathrm{d}S=m c_p\,\mathrm{d}T $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ módon jellemezve jutunk $\setbox0\hbox{$c_p=\frac{T}{m}\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhődefinícióhoz. Az $\setbox0\hbox{$S(T,p)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljes differenciálja

$\[ \mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T \mathrm{d}p, \]$

amit állandó nyomáson bővítünk:

$\[ \mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \mathrm{d}T = \frac{m c_p} T\,\mathrm{d}T\frac{\,\mathrm{d}V}{\,\mathrm{d}V} = \frac{m c_p} T\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_p \mathrm{d}V = \frac{m c_p}{TV \beta_p}\,\mathrm{d}V.\]$