Termodinamika példák - Maxwell-relációk

Feladat

1. Bizonyítsuk be a $\setbox0\hbox{$\displaystyle {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V={\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Maxwell-összefüggést!

Megoldás

A Maxwell-relációk a termodinamikai potenciálok kétszeres parciális deriváltjainak Young-tétel szerinti megfeleltetéséből kaphatóak. Számításainkat nem csak a feladatban előírt, hanem minden termodinamikai potenciálra elvégezzük.

Az előző feladat alapján a termodinamika differenciális összefüggései $\setbox0\hbox{$\boxed{U(S,V)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re:

$\[ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S = -p. \]$

A Young-tétel értelmében

$\[ \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = \frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S, \]$

azaz

$\[ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V. \]$

Az előző feladat alapján a termodinamika differenciális összefüggései $\setbox0\hbox{$\boxed{F(T,V)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re:

$\[ \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S, \qquad \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = -p. \]$

A Young-tétel értelmében

$\[ \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V, \]$

azaz

$\[ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \]$

a keresett összefüggés.

Hasonlóan $\setbox0\hbox{$\boxed{H(S,p)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re

$\[ \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p = T, \qquad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S = V. \]$

Innen

$\[ \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p, \]$

ami a keresett összefüggés reciprokára hasonlít, de vegyük észre, hogy a rögzített változók mások.

Analóg módon $\setbox0\hbox{$\boxed{G(T,p)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re

$\[ \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p = -S, \qquad \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T = V. \]$

Innen

$\[ -\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p. \]$