Termodinamika - Homogén rendszerek
A Fizipedia wikiből
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Homogén rendszerek |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Mérhető mennyiségek
 |
= | 
|
állandó térfogaton mért hőkapacitás* |
 |
= | 
|
állandó nyomáson mért hőkapacitás* |
 |
= | 
|
izobár hőtágulási együttható |
 |
= | 
|
izoterm kompresszibilitás |
 |
= | 
|
adiabatikus kompresszibilitás |
* ha egységnyi tömegre illetve anyagmennyiségre vonatkoztatjuk, akkor rendre fajhőnek illetve mólhőnek nevezzük.
Feladatok
- Bizonyítsuk be a
, 
, 
és 
összefüggéseket!
- Bizonyítsuk be a
Maxwell-összefüggést!
- Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a
egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – 
intenzív- és 
extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a 
és a 
változócserét!
- Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer
hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során 
-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy 
alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!ÚtmutatásÍrjuk fel az első főtételt, írjuk be az
függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat eredményét! A víz hőtágulási együtthatója 
alatt negatív.
- Feltételezve, hogy
, mutassuk ki, hogy 
, ahol 
az izobár hőtágulási együttható.ÚtmutatásÍrjuk fel
teljes differenciálját, használjuk a 
matematikai összefüggést, a termodinamika két differenciális összefüggését és a definícióját.
- Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az
függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható és 
függvényeként!
- Mennyivel változik egy
tömegű, 
hőmérsékletű, térfogatú rendszer entrópiája, ha térfogata állandó nyomáson értékkel megnő? Az állandó nyomáson mért 
fajhőt és a hőtágulási együtthatót ismertnek tekintjük.ÚtmutatásÍrjuk fel az függvény teljes differenciálját állandó nyomáson, és alkalmazzuk és definícióját! Végeredmény![\[\mathrm{d}S=\frac{m c_p}{TV\beta_p}\,\mathrm{d}V\]](/images/math/8/9/1/8913482ffd0e5fd05a97ff4d3c990a0a.png)
- Egy rendszer állapotegyenlete
, ahol a hőmérsékletfüggő együtthatók kísérletekből ismertek. Mennyit változik a rendszer szabad entalpiája és entrópiája, ha a nyomást rögzített hőmérsékleten 
-ról 
-re változtatjuk?ÚtmutatásHasználjuk ki a
és az 
összefüggéseket! Végeredményés![\[\Delta G=A\ln\left(\frac{p_1}{p_0}\right)+B\left(p_1-p_0\right)+C\frac{p_1^2-p_0^2}{2}\]](/images/math/6/0/4/604b4690f62d9f0616982b2cd9d8dfe5.png)
ahol a vessző a hőmérséklet szerinti deriváltat jelenti.![\[\Delta S=A'\ln\left(\frac{p_1}{p_0}\right)+B'\left(p_1-p_0\right)+C'\frac{p_1^2-p_0^2}{2},\]](/images/math/9/4/d/94dc473377e76fb6ed5fbb18beabd15f.png)
- Egy gumiszalag állapotegyenlete
alakba írható, ahol 
a szalagban fellépő húzóerő nagysága, 
a szalag hossza, a hőmérséklet, 
a szalag erőmentes hossza, 
pozitív állandó.
- a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!ÚtmutatásA belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható a vizsgált esetre a
és 
helyettesítéssel. - b) Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!ÚtmutatásAlkalmazzuk az a) pontban leírt fenti változócseréket!Végeredmény
![\[\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+f\mathrm{d}\ell\]](/images/math/7/f/5/7f5decf22c82e848373c1a93e96bafaf.png)
- c) Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban -ról
-ra növeljük.ÚtmutatásHasználjuk az I. főtételt, és vegyük figyelembe az a) részfeladat eredményét!Végeredmény![\[W=Q_\text{le}=\int_{\ell_0}^{2\ell_0}f\mathrm{d}\ell\]](/images/math/a/9/2/a92623436a83ffbf664f8f1a1b3458ef.png)
- d) Igazoljuk, hogy a gumiszalag hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!ÚtmutatásHasonlítsuk össze a fundamentális egyenletet és az
függvény teljes differenciálját, és vegyük figyelembe az (a) részfeladat eredményét! Végeredményahol![\[\left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S=\frac{f}{C_\ell}>0,\]](/images/math/4/8/f/48fb10b34970193d78d5a4a66ee9c31c.png)
az állandó hossznál mért hőkapacitás.
- a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!
- Mennyi hő szabadul fel az
dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy 
értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.ÚtmutatásHasználjuk az I. főtétel
alakját, az 
függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma (
) segítségével a 
és 
helyettesítéssel: 
. Alkalmazzuk még a 
összefüggést is! Végeredmény![\[Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}E^2\]](/images/math/7/4/8/748a2556baf501bef94eaf7c54b03a77.png)
