Termodinamika példák - Entrópia és entalpia állapotegyenlettel

Feladat

1. Egy rendszer állapotegyenlete $\setbox0\hbox{$pV=A(T)+B(T)\,p+C(T)\,p^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol a hőmérsékletfüggő együtthatók kísérletekből ismertek. Mennyit változik a rendszer szabad entalpiája és entrópiája, ha a nyomást rögzített $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten $\setbox0\hbox{$p_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re változtatjuk?

Megoldás

A termodinamika differenciális összefüggései segítségével megteremthetjük a kapcolatot a szabadentalpia és a felírt állapotegyenlet között:

$\[ \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V,\]$

mert az állapotegyenletből $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kifejezhető $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ segítségével:

$\[ V=\frac{A\left(T\right)} p+B\left(T\right)+C\left(T\right)p. \]$

Ezt integrálva $\setbox0\hbox{$p_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határok között:

$\[ \Delta G=A\left(T\right)\ln \frac{p_1}{p_0}+B\left(T\right)\left(p_1-p_0\right)+\frac12 C\left(T\right)\left( p_1^2- p_0^2\right). \]$

Az entrópiára vonatkozó megfelelő differenciális összefüggés:

$\[ \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p = -S, \]$

amivel

$\[ \Delta S=\frac{\mathrm{d}A(T)}{\mathrm{d}T}\ln \frac{p_0}{p_1}+\frac{\mathrm{d}B(T)}{\mathrm{d}T}\left(p_0-p_1\right)+\frac12 \frac{\mathrm{d}C(T)}{\mathrm{d}T}\left(p_0^2-p_1^2\right). \]$