„Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger [[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]…”) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az $U(S, V)$ függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható $S$ és $V$ függvényeként!</wlatex><noinclude> | </noinclude><wlatex># Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az $U(S, V)$ függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható $S$ és $V$ függvényeként!</wlatex><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Először azt látjuk be, hogy minden állapotjelző megadható a belső energiával és természetes változóival. Az első főtételből |
+ | $$ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V $$ | ||
+ | és $U(S,V)$ teljes differenciáljából | ||
+ | $$ \mathrm{d}U={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_V\,\mathrm{d}S+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_S\,\mathrm{d}V$$ | ||
+ | beazonosíthatjuk a két hiányzó állapotjelzőt: | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V=T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S=-p. $$ | ||
+ | |||
+ | Ezek után változócserével (Legendre-transzformációval) juthatunk a többi termodinamikai potenciálhoz: | ||
+ | $$ H=U+pV=U-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S V, $$ | ||
+ | $$ F=U-TS=U-\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V S $$ | ||
+ | és | ||
+ | $$ G=U+pV-TS=U-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S V - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V S. $$ | ||
+ | |||
+ | == Megjegyzés == | ||
+ | Ezeket a számításokat a [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|termodinamika differenciális összefüggéseiről]] szóló feladatban már elvégeztük, és ott adtunk utalást a kémiai potenciál kezelésére is. A feladatot $U(S,V,N)$ háromváltozós függvényre | ||
+ | $$ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V+\mu\,\mathrm{d}N $$ | ||
+ | összefüggéssel egészíthetjük ki, a megoldás alakjának értelmezésében pedig az említett feladatban nyert $\mu = \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}$ és $\mu = \frac{G(T,p)}{N}$ észrevétel segít. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 24., 18:56-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Homogén rendszerek |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható és függvényeként!
Megoldás
Először azt látjuk be, hogy minden állapotjelző megadható a belső energiával és természetes változóival. Az első főtételből
és teljes differenciáljából
beazonosíthatjuk a két hiányzó állapotjelzőt:
Ezek után változócserével (Legendre-transzformációval) juthatunk a többi termodinamikai potenciálhoz:
és
Megjegyzés
Ezeket a számításokat a termodinamika differenciális összefüggéseiről szóló feladatban már elvégeztük, és ott adtunk utalást a kémiai potenciál kezelésére is. A feladatot háromváltozós függvényre
összefüggéssel egészíthetjük ki, a megoldás alakjának értelmezésében pedig az említett feladatban nyert és észrevétel segít.