„Termodinamika példák - Átadott hő mérhető mennyiségekkel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Megoldás) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
| 10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Feltételezve, hogy $S=S(p,T)$, mutassuk ki, hogy $T\,\mathrm{d}S=n C_p\,\mathrm{d}T-\beta_p TV\,\mathrm{d}p$, ahol $\beta_p$ az izobár hőtágulási együttható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel $S$ teljes differenciálját, használjuk a ${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_p={\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)}_p{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p$ matematikai összefüggést, a termodinamika két differenciális összefüggését és a $\beta_p$ definícióját.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Feltételezve, hogy $S=S(p,T)$, mutassuk ki, hogy $T\,\mathrm{d}S=n C_p\,\mathrm{d}T-\beta_p TV\,\mathrm{d}p$, ahol $\beta_p$ az izobár hőtágulási együttható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel $S$ teljes differenciálját, használjuk a ${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_p={\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)}_p{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p$ matematikai összefüggést, a termodinamika két differenciális összefüggését és a $\beta_p$ definícióját.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>Írjuk fel $S( | + | <wlatex>Írjuk fel $S(p,T)$ teljes differenciálját |
| − | $$ \mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T $$ | + | $$ \mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T, $$ |
| − | és az első tagban használjuk a | + | és az első tagban használjuk a [[Termodinamika példák - Maxwell-relációk|Maxwell-féle összefüggést]] és a kompresszibilitás definícióját: |
| − | $$ \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=-V \beta_p$$ | + | $$ \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = -V \beta_p. $$ |
| − | + | ||
| − | A másodikra tagban alkalmazzuk a láncszabályt (ehhez minden differenciálhányadost ugyanazon rögzített | + | A másodikra tagban alkalmazzuk a láncszabályt (ehhez minden differenciálhányadost ugyanazon rögzített változó mellett kell felírni) és a fajhő definícióját: |
$$ \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \left(\frac{\partial H}{\partial H}\right)_p = \left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_p \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p | $$ \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \left(\frac{\partial H}{\partial H}\right)_p = \left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_p \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p | ||
= \left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_p n C_p, $$ | = \left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_p n C_p, $$ | ||
| − | + | aminek továbbalakításához használjuk a $\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p=T$ [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|differenciális összefüggés]] reciprokát, így az entrópia megváltozása | |
| − | $$ | + | $$ \mathrm{d}S = -V \beta_p\,\mathrm{d}p + \frac{n C_p}{T}\,\mathrm{d}T. $$ |
$T$-vel való szorzás után | $T$-vel való szorzás után | ||
| − | $$ T\,\mathrm{d}S=- | + | $$ T\,\mathrm{d}S = -\beta_p T V\,\mathrm{d}p+ n C_p\,\mathrm{d}T $$ |
| − | eredmény adódik. | + | eredmény már adódik. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. május 24., 18:43-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Homogén rendszerek |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Feltételezve, hogy
, mutassuk ki, hogy 
, ahol 
az izobár hőtágulási együttható.
Megoldás
Írjuk fel 
teljes differenciálját
![\[ \mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T, \]](/images/math/a/1/2/a12355cf2cc44e5fcf0545af1508da6d.png)
és az első tagban használjuk a Maxwell-féle összefüggést és a kompresszibilitás definícióját:
![\[ \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = -V \beta_p. \]](/images/math/a/6/3/a6322ae3af9d1997adea11d8d7a6a534.png)
A másodikra tagban alkalmazzuk a láncszabályt (ehhez minden differenciálhányadost ugyanazon rögzített változó mellett kell felírni) és a fajhő definícióját:
![\[ \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \left(\frac{\partial H}{\partial H}\right)_p = \left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_p \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_p n C_p, \]](/images/math/5/9/d/59d4838093074edb9f6dac4afc73f3d4.png)
aminek továbbalakításához használjuk a 
differenciális összefüggés reciprokát, így az entrópia megváltozása
![\[ \mathrm{d}S = -V \beta_p\,\mathrm{d}p + \frac{n C_p}{T}\,\mathrm{d}T. \]](/images/math/f/3/6/f362910adf6e3ca5e03c7385b85258bc.png)
-vel való szorzás után
![\[ T\,\mathrm{d}S = -\beta_p T V\,\mathrm{d}p+ n C_p\,\mathrm{d}T \]](/images/math/0/a/1/0a1fc69689fc6e6a515564a53f86557b.png)
eredmény már adódik.
