„Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Termodinamika - Homogén rendszerek {{Kísérleti fizika gy…”) |
|||
| 10. sor: | 10. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\varepsilon(T)$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $E$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtétel $\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$ alakját, az $U(P, T)$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($P$) segítségével a $-p\to E$ és $V\to P$ helyettesítéssel: ${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$. Alkalmazzuk még a $P={\varepsilon}_ 0\left(\varepsilon-1\right)EV$ összefüggést is!}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}E^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\varepsilon(T)$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $E$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtétel $\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$ alakját, az $U(P, T)$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($P$) segítségével a $-p\to E$ és $V\to P$ helyettesítéssel: ${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$. Alkalmazzuk még a $P={\varepsilon}_ 0\left(\varepsilon-1\right)EV$ összefüggést is!}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon(T)}{\mathrm{d}T}E^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív $\mathbf{E}$ elektromos térerősséget és extenzív $\mathbf{P}$ polarizációt, ezt legegyszerűbben a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócsere]] során megállapított analógia alapján tehetjük meg: |
| + | {| style="align: center;" | ||
| + | | align="right" | $-p$ || $\longrightarrow$ || $\mathbf{E}$, | ||
| + | |- | ||
| + | | align="right" | $V$ || $\longrightarrow$ || $\mathbf{P}$ | ||
| + | |- | ||
| + | | align="right" | $\mathrm{d}U=\delta Q - p\mathrm{d}V$ || $\longrightarrow$ || $\mathrm{d}U=\delta Q + \mathbf{E}\mathbf{\mathrm{d}P}$ | ||
| + | |} | ||
| + | Mivel a $\varepsilon(T)$ dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, $\mathbf{E}\mathbf{\mathrm{d}P}=E\mathrm{d}P$. | ||
| + | A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk): | ||
| + | $$ \mathrm{d}U = \left[\frac{\partial U}{\partial T}\right]_P\mathrm{d}T + \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T\mathrm{d}P, $$ | ||
| + | ahol a második paramétert a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócseréről szóló feladatban]] levezetett általános képlet alapján felírhatjuk: | ||
| + | $$ \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P + E. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 5., 23:57-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Homogén rendszerek |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Mennyi hő szabadul fel az
dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy 
értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.
Megoldás
A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív 
elektromos térerősséget és extenzív 
polarizációt, ezt legegyszerűbben a változócsere során megállapított analógia alapján tehetjük meg:
 |
 |
,
|
 |
|
|
 |
|
|
Mivel a dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, 
.
A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):
![\[ \mathrm{d}U = \left[\frac{\partial U}{\partial T}\right]_P\mathrm{d}T + \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T\mathrm{d}P, \]](/images/math/2/7/8/278eabb553c7e23d7e2719d60050921d.png)
ahol a második paramétert a változócseréről szóló feladatban levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:
![\[ \left[\frac{\partial U}{\partial P}\right]_T = -T\left[\frac{\partial E}{\partial T}\right]_P + E. \]](/images/math/c/b/e/cbe921d80b8bc1eb2ee0b638f9b27bfe.png)
