„Termodinamika példák - Hőmérsékletváltozás mérhető mennyiségekkel adiabatikus tágulásban” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
 
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva)
10. sor: 10. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $4 \,\mathrm{^\circ C}$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl!
 
</noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $4 \,\mathrm{^\circ C}$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl!
−
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az I. főtételt, írjuk be az $U(T,V)$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] eredményét]! A víz hőtágulási együtthatója $4\,\mathrm{^\circ C}$ alatt negatív.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az első főtételt, írjuk be az $U(T,V)$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] eredményét! A víz hőtágulási együtthatója $4\,\mathrm{^\circ C}$ alatt negatív.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>Az első főtétel
 
<wlatex>Az első főtétel
23. sor: 24. sor:
 
egyenletet kapjuk.
 
egyenletet kapjuk.
  
−
Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|előző feladatból]] ismerjük (vagy [[Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként|egy következő feladat]] alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:
+
Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|általános változócseréről]] szóló feladatból ismerjük (vagy [[Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként|egy következő feladat]] alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:
 
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,$$
 
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,$$
−
így az egyenletünk:
+
így az egyenletünk
−
$$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V$$
+
$$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V. $$
  
 
A [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]]
 
A [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]]
35. sor: 36. sor:
 
$$ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. $$
 
$$ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. $$
  
−
$  T_\text{víz} < \left(273+4\right)K $ hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív:
+
$  T_\text{víz} < \left(273+4\right)\,\mathrm{K} $ hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív ($ -\beta_p > 0 $), ezért adiabatikus összenyomásra ($\mathrm{d}V<0$) a hőmérsékletváltozás
−
$$ -\beta_p > 0, $$
+
−
ezért összenyomásra ($\mathrm{d}V<0$)
+
 
$$ \mathrm{d}T < 0, $$
 
$$ \mathrm{d}T < 0, $$
 
hiszen a többi tényező pozitív.
 
hiszen a többi tényező pozitív.

A lap jelenlegi, 2013. május 21., 13:02-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során \setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy \setbox0\hbox{$4 \,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!

Megoldás

Az első főtétel

\[ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V \]

adiabatikus folyamatra egyszerűsödik:

\[ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. \]

Ezt egyenlővé téve \setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V\]

alakú teljes differenciáljával és felhasználva \setbox0\hbox{$C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% definíciót

\[ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V \]

egyenletet kapjuk.

Az általános változócseréről szóló feladatból ismerjük (vagy egy következő feladat alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,\]

így az egyenletünk

\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V. \]

A nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat

\[ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} \]

eredményét felhasználva:

\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, \]

amiből

\[ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. \]

\setbox0\hbox{$ T_\text{víz} < \left(273+4\right)\,\mathrm{K} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív (\setbox0\hbox{$ -\beta_p > 0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), ezért adiabatikus összenyomásra (\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a hőmérsékletváltozás

\[ \mathrm{d}T < 0, \]

hiszen a többi tényező pozitív.


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Hőmérsékletváltozás_mérhető_mennyiségekkel_adiabatikus_tágulásban&oldid=9961”