„Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele.) |
|||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a $\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$ egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – $X$ intenzív- és $\xi$ extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a $p\to-X$ és a $V\to\xi$ változócserét!</wlatex><noinclude> | </noinclude><wlatex># Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a $\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$ egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – $X$ intenzív- és $\xi$ extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a $p\to-X$ és a $V\to\xi$ változócserét!</wlatex><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Az | + | <wlatex>Az első főtétel az új változókkal |
$$ T\,\mathrm{d}S=\,\mathrm{d}U-X\,\mathrm{d}\xi. $$ | $$ T\,\mathrm{d}S=\,\mathrm{d}U-X\,\mathrm{d}\xi. $$ | ||
Az $U(S,\xi)$ függvény teljes differenciálja | Az $U(S,\xi)$ függvény teljes differenciálja | ||
27. sor: | 28. sor: | ||
azaz $T^2$-tel való szorzás után | azaz $T^2$-tel való szorzás után | ||
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$ | ||
+ | |||
+ | Természetesen a levezetés $X=-p$, $\xi=V$ esetben is igaz. | ||
== Másik bizonyítás == | == Másik bizonyítás == | ||
− | Az | + | Az első főtétel az új változókkal |
$$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S + X\,\mathrm{d}\xi $$ | $$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S + X\,\mathrm{d}\xi $$ | ||
felírt alakját osszuk le formálisan $\mathrm{d}\xi$-vel állandó hőmérsékleten: | felírt alakját osszuk le formálisan $\mathrm{d}\xi$-vel állandó hőmérsékleten: | ||
40. sor: | 43. sor: | ||
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$ | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$ | ||
+ | Természetesen a levezetés $X=-p$, $\xi=V$ esetben is igaz. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 20., 13:59-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Homogén rendszerek |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – intenzív- és extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a és a változócserét!
Megoldás
Az első főtétel az új változókkal
Az függvény teljes differenciálja
aminek segítségével
A Young-tétel szerint vegyes második parciális deriváltjai egyenlőek:
azaz -tel való szorzás után
Természetesen a levezetés , esetben is igaz.
Másik bizonyítás
Az első főtétel az új változókkal
felírt alakját osszuk le formálisan -vel állandó hőmérsékleten:
ahol használjuk az új változókban teljes differenciálból levezethető
Természetesen a levezetés , esetben is igaz.