„Mechanika - Rezgések I.” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 24. sor: | 24. sor: | ||
{{:Mechanika - Eredő rezgés adatai}}{{Megoldás|link=Mechanika - Eredő rezgés adatai}} | {{:Mechanika - Eredő rezgés adatai}}{{Megoldás|link=Mechanika - Eredő rezgés adatai}} | ||
{{:Mechanika - Adott eredő rezgés}}{{Megoldás|link=Mechanika - Adott eredő rezgés}} | {{:Mechanika - Adott eredő rezgés}}{{Megoldás|link=Mechanika - Adott eredő rezgés}} | ||
| + | {{:Mechanika - Azonos kitérés ideje}}{{Megoldás|link=Mechanika - Azonos kitérés ideje}} | ||
{{:Mechanika - Lebegés}}{{Megoldás|link=Mechanika - Lebegés}} | {{:Mechanika - Lebegés}}{{Megoldás|link=Mechanika - Lebegés}} | ||
A lap 2012. december 2., 14:55-kori változata
Feladatok
- (1.4.35.) Határozzuk meg a pont
pályaegyenletét, ha a koordináták időfüggése:
- a)
; 
- b) ;
ÚtmutatásEjtsük ki az időkoordinátát.Végeredmény![\[y^2=4x^2\left(1-\frac{x^2}{A^2}\right)\]](/images/math/7/6/5/7658dc4d2c1288cf7145f37bf6b7a8dd.png)
![\[y=A\left(1-\frac{2x^2}{A^2}\right)\]](/images/math/a/2/3/a23d0d74ec791e34f38a01a870c58d71.png)
- a)
- (2.1.24.)
tömegű testet 
rugóállandójú súlytalan rugóra akasztunk. A testet kezdősebesség nélkül elengedjük abban a helyzetben, amelyben a rugó feszültségmentes. Adjuk meg a kitérést az idő függvényében!ÚtmutatásÁllapítsuk meg az egyensúlyi helyzetet és ahhoz képest a kezdeti feltételeket!Végeredmény![\[x(t)=\frac{mg}k(1-\cos(\omega t))\]](/images/math/c/6/c/c6c3d4785fff01b27c7d2bf78ad2e67a.png)
- (2.1.49.) Pontszerűnek tekinthető
tömegű testre 
erő hat. A rugóállandó: 
. A 
pillanatban a kitérés 
, a sebesség 
és a nagysága növekszik.
- a) Mekkora a rezgés frekvenciája?
- b) Mekkora a rezgés amplitúdója?
- c) Írja fel a helyzet-idő függvényt! Mekkora a kezdőfázis?Végeredmény
![\[\omega=5\,\frac1{\rm s}\]](/images/math/2/4/1/241b9e387a43c0c9dab921fc625ac8be.png)
![\[A=0,448\,\rm m\]](/images/math/4/1/d/41d391a8a1b54956ae327869b2e3471e.png)
![\[x(t)=\cos(\omega t+63,4^{\circ})\]](/images/math/4/b/a/4bad91bd0424aa424e0ee839d1e58112.png)
- (6.1.) Egy részecske
frekvenciával harmonikus rezgőmozgást végez. A időpillanatban 
sebességgel halad át az egyensúlyi helyzetén. Írja fel a helyzet-idő függvényt a konkrét adatokkal!Végeredmény![\[x(t)=\frac{0,2}{\pi}\sin{\pi t}\]](/images/math/c/f/0/cf01d6f79d01f041f81b1bd652893a4c.png)
- (6.5.) Az
amplitúdóval és 
frekvenciával vízszintes síkon rezgő tömegű testre az egyensúlyi helyzeten áthaladva felülről 
tömegű agyagdarab esik, mely rátapad. Mekkora lesz az új rezgésidő és az amplitúdó?Végeredmény![\[T_2=T_1\sqrt{\frac{m+M}m}\]](/images/math/5/2/9/5299745e574e83530e82dc3f461dc9a9.png)
![\[A_2=A_1\sqrt{\frac m{m+M}}\]](/images/math/6/c/d/6cd5224246932e436be28cbb9c9c6be6.png)
- (6.6.) Egy tömegű kosár direkciós erejű rugón nyugszik. A kosár felett
magasságból tömegű testet ejtünk le, amely rugalmatlanul ütközve a kosárban marad. Milyen amplitúdóval fog rezegni a kosár?ÚtmutatásNe felejtsük el figyelembe venni az egyensúlyi helyzet eltolódását!Végeredmény![\[A^2=\frac{m^2g^2}{k^2}\left(1+\frac{2kh}{g(m+M)}\right)\]](/images/math/1/e/8/1e8c79c1281603308099e98f7b455a8a.png)
- (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a
és 
direkciós erejű rugókra erősített tömegű test rezgési frekvenciáit! 
ÚtmutatásÍrjuk fel a test mozgásegyenletét mindkét esetben, és határozzunk meg effektív rugólállandókat!Végeredményahol![\[\omega=2\pi f=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m},\]](/images/math/b/3/a/b3a00729c5df2d82c0b667932dd9aadb.png)
illetve![\[k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,\]](/images/math/4/5/7/4573653343b4a62118c0aa51078a26d9.png)
![\[\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}\]](/images/math/d/d/7/dd739f2d91c285f8b9f2d0aebfb016c6.png)
- (6.8.) Határozzuk meg a vízszintes síkon mozgó tömegű test rezgéseinek frekvenciáját, ha az ábrán látható módon két, elhanyagolható tömegű rugóhoz van kapcsolva (rugóállandók: és )!
ÚtmutatásMilyen irányú erők hatnak, ha a testet kissé kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből?Végeredmény![\[\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}m}\]](/images/math/8/8/a/88af204b990475fbac820b1eaa8601dc.png)
- (*6.9.) Két vízszintes helyzetű
rugóállandójú rugó közé tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban 
, megfeszítve 
. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az 
határesetet! 
ÚtmutatásÍrjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!VégeredményAz effektív rugóállandóezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.![\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l,\]](/images/math/8/6/8/868de616f0bc7382d57a8f8ed809d15a.png)
- (6.10.) Síklemez a rajta nyugvó testtel együtt harmonikus rezgést végez a vízszintes síkban. A rezgés amplitúdója
. Mekkora a lemez és a test közötti súrlódási együttható, ha a test akkor kezd csúszni a lemezen, amikor a rezgésidő kisebb lesz, mint 
?ÚtmutatásA lemezen lévő testet vízszintesen csak a súrlódási erő mozgatja.Végeredmény![\[\mu=0,402\]](/images/math/9/f/9/9f987e440f21f70f39079ae0386e4e7c.png)
- (*6.11.) Mutassuk meg, hogy egy kúpinga periódusideje ugyanakkora, ha egy kis kör mentén mozog, mint ha síkban kis lengéseket végez!VégeredményA körfrekvencia négyzete mindkét esetben
![\[\omega^2=\frac gl\]](/images/math/e/8/6/e869d041559ef36b3aab46f5685284e8.png)
- (*6.14.) Az ábrán látható tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza , rugóállandója . Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a
és 
határeseteket! 
ÚtmutatásÍrjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!VégeredményAz effektív rugóállandóezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.![\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2},\]](/images/math/2/6/0/2609eb153ada82b39c411e744dc94731.png)
- (*6.16.) Vízszintes lapon álló
és 
tömegű kiskocsikat rugóállandójú rugóval kötünk össze. A két kiskocsit széthúzzuk, majd hirtelen elengedjük őket. Hogyan fognak ezután mozogni? (A súrlódástól eltekintünk.)ÚtmutatásLássuk be, hogy a két test kitérés-idő függvénye egymás számszorosa, majd ezt használjuk ki az egymásba helyettesítésüknél a két csatolt mozgásegyenletben!Végeredmény![\[\omega^2=D\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}\]](/images/math/9/7/0/9702e7a0db656030d1694b915dcaf52e.png)
- (*6.19.) Határozzuk meg az
törvény szerint harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont mozgásának amplitúdóját és periódusidejét!ÚtmutatásHasználjunk trigonometrikus azonosságokat a függvény átalakításához!Végeredmény![\[T=\pi\]](/images/math/3/5/1/351957643fac8c9b2300a903bf445973.png)
![\[A=\sqrt{10}\]](/images/math/e/a/2/ea290d6fbddc61784f2ce57aad007d80.png)
- (*6.20.) Egyik harmonikus rezgés amplitúdója
, kezdőfázisa 
, a másiké 
, 
. Mekkora az eredő amplitúdó és az előálló rezgés fázisállandója?ÚtmutatásHasználjunk forgóvektorokat vagy komplex amplitúdókat az összegzéshez!Végeredmény![\[A=7\,\rm{cm}\]](/images/math/c/0/4/c048db28d95c52173bbbfe48b07c71b4.png)
![\[\alpha=-8,2^{\circ}\]](/images/math/2/4/6/2467e7b19fe9b6006446b6033f8cd45f.png)
- (*6.21.) Azonos frekvenciájú, egyirányú rezgések összetevésénél az egyik rezgés amplitúdója
, kedzőfázisa 
, a másik rezgés amplitúdója 
.
- a) Mekkorára kell választani a második rezgés kezdőfázisát, hogy az eredő rezgés kezdőfázisa zérus legyen?
- b) Mekkora lesz ebben az esetben az eredő rezgés amplitúdója?
- c) Mekkorára kell a második rezgés kezdőfázisát választani, hogy az eredő amplitúdó
legyen?Végeredmény![\[\phi_2=-90^{\circ}\]](/images/math/e/c/0/ec061405b2af353cbb01bd290cfaffcc.png)
![\[A_2\approx5,2\,\rm{cm}\]](/images/math/4/0/a/40ab8bda66808c9d377f14602032956e.png)
vagy![\[\phi_2=-53,6^{\circ}\]](/images/math/b/2/8/b28b28672baadb71c868b28a2630c068.png)
![\[\phi_2=113,6^{\circ}\]](/images/math/c/c/8/cc8c4bdf40a85ac72d7923fd1cc92415.png)
- (*6.22.) Két, azonos amplitúdójú rezgés, melyek frekvenciája
és 
egyszerre kezdi meg rezgését az egyensúlyi helyzetből. Mikor lesz legelőször ismét azonos a kitérésük?Végeredmény![\[t=4,54\,\rm{ms}\]](/images/math/8/6/2/862159a61d26c02e62478ef5e33e8c42.png)
- (6.24.) Két egyirányú harmonikus rezgés eredője:
, ahol 
másodpercekben értendő. Mekkora az összetevő rezgések frekvenciája, és mekkora a lebegés frekvenciája?ÚtmutatásAlakítsuk át a függvényt trigonometrikus függvények összegére!Végeredmény![\[f_l=0,636\,\rm{Hz}\]](/images/math/f/8/c/f8c9411ace4847d35dd0b4c6319cb3f0.png)
