Elektrosztatika - Elektromos potenciál
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Beleznai (vitalap | szerkesztései) 2013. június 26., 16:07-kor történt szerkesztése után volt.
Feladatok
- Határozzuk meg az
elektromos erőtér potenciálját, ha 
állandó, 
és 
az 
és 
tengely irányába mutató egységvektorok!Végeredmény![\[U=-axy+C\]](/images/math/1/7/c/17cbed1f73791320a1d8440c5144e446.png)
- Határozzuk meg az elektromos térerősség vektorát, ha a potenciál:
a)
b)
módon függ a koordinátáktól, aholállandó!Végeredménya)b)![\[\overline{E}=-2ax\overline{i}+2ay\overline{j}\]](/images/math/2/3/b/23b229f6c30463bbb94c8c9a8e59895d.png)
![\[\overline{E}=-ay\overline{i}-ax\overline{j}\]](/images/math/9/f/5/9f5ea896b3cf8e3a9e0e8db60f8812ec.png)
- Mekkora munkát kell végeznünk, ha a
töltést az ábrán látható 
töltés környezetében az 
pontból a 
pontba visszük át? 
ÚtmutatásElőször mozgassuk a ponttöltést az 
sugarú, középpontú köríven, ezt követően a töltést sugárirányban mozgatjuk a pontig. Végeredmény![\[W=-\dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r1}^{r2}\dfrac{1}{r^2}dr=-\dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left( \dfrac{1}{r1}-\dfrac{1}{r2} \right)\]](/images/math/8/3/6/8364d4d6f8d43af95efb89114bcf36d8.png)
sugarú szigetelő körlemezre töltést viszünk egyenletes felületi töltéssűrűséggel. A kör középpontja felett, a kör síkjától 
távolságra mekkora a potenciál?ÚtmutatásElőször parametrizáljuk a körlap felületét
és 
polárkoordináták szerint, a szuperpozíció elve alapján skalárisan összegeznünk kell az egyes felületelemek 
potenciál járulékait. Végeredmény![\[U=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)\]](/images/math/4/d/c/4dc49776c2a3ca89afc6003435cb5112.png)
- Két párhuzamos, nagy kiterjedésű vezető sík egyike földelt, a másik felületi töltéssűrűsége
. A lemezek távolsága 
.
a) Mekkora a lemezek közötti potenciálkülönbség?
b) Mekkora lesz a potenciálkülönbség, ha a lemezekkel párhuzamosan, tőlük egyenlő távolságra, egy
felületi töltéssűrűségű harmadik lemezt helyezünk?Végeredménya)b)![\[ U =\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot d \]](/images/math/c/7/9/c7966653df23b09877d552d1a8120db2.png)
![\[U = U_{1}+U_{2} = \frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}\cdot d + \frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot d = \frac{2\cdot\omega_{1}+\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot \frac{d}{2} \]](/images/math/6/b/0/6b05539342a4baf3ef56a0b244911a06.png)
- Nyolc esőcsepp mindengyikének potenciálja
. Egyetlen cseppé egyesülésük után mekkora lesz ennek a cseppnek a potenciálja?ÚtmutatásAz egyesült csepp térfogata, a kis cseppek térfogatainak az összege, töltése pedig a cseppek töltéseinek összege. Számoljuk ki a nagy csepp potenciálját a végtelen távoli ponthoz képest.Végeredmény![\[\frac{k\cdot 8\cdot Q}{2\cdot r} = 4\cdot\frac{k\cdot Q}{r} = 4\cdot U\]](/images/math/c/6/3/c63ece0baa548b55184d358a6bf3514a.png)
- Egy
sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője 
. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége 
.
a) Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.
b) Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.
c) Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?
d) Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha
dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?ÚtmutatásFöldeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az sugarú gömb töltése akkor a külső gömb belső felületén 
, külső felületén pedig töltés jön létre.A különböző térrészekre írjuk fel a Gauss-tételt: Végeredménya) A belső gömb:külső gömb:![\[\vec{E}=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}\]](/images/math/1/5/d/15d20a6021d6601490871e3c4ed48bf7.png)
b)![\[\vec{E}=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}\]](/images/math/6/4/b/64b193f7e3326be3691062cb198b5bc7.png)
1:
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]](/images/math/7/a/f/7af4f60c44b4e29f0970f81e09988426.png)
2:
3:![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]](/images/math/6/b/e/6be977370516a5e807b6e7cb59f99c8e.png)
4.a: (földeletlen):
4.b: (földelet):
c)d)![\[ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]](/images/math/f/4/c/f4c60dff9fba2256f157bc2e3afc28c9.png)
![\[ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]](/images/math/5/b/b/5bb8c30ad6998b0a96dd0fe6437d329e.png)
- Két végtelen hosszú koaxiális fémhengert egynemű töltéssel töltünk fel úgy, hogy a töltéssűrűség a külső hengeren , a belsőn pedig . A hengerek sugara és . Határozzuk meg a hengerek közötti potenciálkülönbséget?ÚtmutatásÍrjuk fel erre a Gauss-tételt a belső hengerre!Végeredmény
![\[\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) \]](/images/math/a/3/2/a32796d7e4e70e997416c251e424b512.png)
- Egy
sugarú, hosszú egyenes vezető szálra ismeretlen nagyságú töltést viszünk, majd sugarú, vékony falú fémhengerrel vesszük körül koaxiálisan. A vezető szálon a felületi töltéssűrűség állandó. A henger töltetlen és a talajtól szigetelt, míg a szál 
potenciálon van a tengelyétől 1 m távoli ponthoz képest.
a) Milyen potenciálon lesz a henger?
b) Mekkora lesz a térerősség a henger külső felületén?
c) Elektromos mérésekkel kimutatható-e az-nél nagyobb távolságban a henger jelenléte a szál körül?Végeredménya) A henger potenciálja:b) A térerősség a henger külső felületén:![\[ U = -\frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot r_{0}\ln\left(R\right)\]](/images/math/2/e/2/2e2bbc9e61b03b7f52995e2b36633346.png)
c) Nem, mert a térerősséget nem fogja megváltoztatni, a henger jelenléte. (vö: Gauss-tétel)![\[\vec{E} = \frac{\omega\cdot r_{0}}{\epsilon_{0}\cdot R}\]](/images/math/4/4/8/4486bd1f5f3531c43c0f3997d79e4ab7.png)
- A felhőkben levő vízcseppeket kis sugarú gömböknek lehet tekinteni, amelyek egymástól olyan távolságban vannak, hogy töltésük a többiektől függetlenül jön létre. Tegyük fel azt, hogy a felhőt alkotó apró vízcseppek átmérője és átlagosan potenciálra töltődnek fel. Ha ezek az apró cseppek sugarú cseppekké sűrűsödnek, mekkora lesz a nagy cseppek potenciálja a végtelen távoli ponthoz képest?ÚtmutatásOsszuk fel infinitezimális felületelemekre és alkalmazzuk a szuperpozíció elvét!Végeredmény
![\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]](/images/math/e/7/6/e760b68831c68f2b1ca6a11b95ddee89.png)
- Egy sugarú félgömbhéjat feltöltünk töltéssel. Mekkora a potenciál a gömb középpontjában, a végtelen távol lévő ponthoz képest? A megoldáshoz használjuk a szuperpozíció elvét.ÚtmutatásA szuperpozíció elve miatt a gömb teljes potenciálja összege két félgömb potenciáljánakVégeredmény
![\[U_{felgomb} = \frac{U_{gomb}}{2} = \frac{Q}{8\cdot\pi\cdot\epsilon_{0}\cdot R}\]](/images/math/7/2/f/72f1e85ee866b0a5c16a9fe027af916d.png)
