Mechanika - Rezgések I.

Feladatok

1. (1.4.35.) Határozzuk meg a pont $\setbox0\hbox{$y=y(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pályaegyenletét, ha a koordináták időfüggése:

   a) $\setbox0\hbox{$x=A\sin{\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ; $\setbox0\hbox{$y=A\sin{2\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   b) $\setbox0\hbox{$x=A\sin{\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ; $\setbox0\hbox{$y=A\cos{2\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Útmutatás [mutat]

   Ejtsük ki az időkoordinátát.

   Végeredmény [mutat]

   $\[y^2=4x^2\left(1-\frac{x^2}{A^2}\right)\]$

   $\[y=A\left(1-\frac{2x^2}{A^2}\right)\]$

   Megoldás

   
   

2. (2.1.24.) $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugóállandójú súlytalan rugóra akasztunk. A testet kezdősebesség nélkül elengedjük abban a helyzetben, amelyben a rugó feszültségmentes. Adjuk meg a kitérést az idő függvényében!
   Útmutatás [mutat]

   Állapítsuk meg az egyensúlyi helyzetet és ahhoz képest a kezdeti feltételeket!
   Végeredmény [mutat]

   $\[x(t)=\frac{mg}k(1-\cos(\omega t))\]$
   Megoldás
   
   
3. (2.1.49.) Pontszerűnek tekinthető $\setbox0\hbox{$1\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre $\setbox0\hbox{$F=–Dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő hat. A rugóállandó: $\setbox0\hbox{$D=25\,\rm N/\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ . A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban a kitérés $\setbox0\hbox{$+20\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a sebesség $\setbox0\hbox{$2\,\rm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a nagysága növekszik.

   a) Mekkora a rezgés frekvenciája?

   b) Mekkora a rezgés amplitúdója?

   c) Írja fel a helyzet-idő függvényt! Mekkora a kezdőfázis?

   Végeredmény [mutat]

   $\[\omega=5\,\frac1{\rm s}\]$

   $\[A=0,448\,\rm m\]$

   $\[x(t)=\cos(\omega t+63,4^{\circ})\]$

   Megoldás

   
   

4. (6.1.) Egy részecske $\setbox0\hbox{$0,5\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciával harmonikus rezgőmozgást végez. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad át az egyensúlyi helyzetén. Írja fel a helyzet-idő függvényt a konkrét adatokkal!
   Végeredmény [mutat]

   $\[x(t)=\frac{0,2}{\pi}\sin{\pi t}\]$
   Megoldás
   
   
5. (6.5.) Az $\setbox0\hbox{$A_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdóval és $\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciával vízszintes síkon rezgő $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre az egyensúlyi helyzeten áthaladva felülről $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű agyagdarab esik, mely rátapad. Mekkora lesz az új rezgésidő és az amplitúdó?
   Végeredmény [mutat]

   $\[T_2=T_1\sqrt{\frac{m+M}m}\]$

   $\[A_2=A_1\sqrt{\frac m{m+M}}\]$
   Megoldás
   
   
6. (6.6.) Egy $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű kosár $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ direkciós erejű rugón nyugszik. A kosár felett $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságból $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet ejtünk le, amely rugalmatlanul ütközve a kosárban marad. Milyen amplitúdóval fog rezegni a kosár?
   Útmutatás [mutat]

   Ne felejtsük el figyelembe venni az egyensúlyi helyzet eltolódását!
   Végeredmény [mutat]

   $\[A^2=\frac{m^2g^2}{k^2}\left(1+\frac{2kh}{g(m+M)}\right)\]$
   Megoldás
   
   
7. (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a $\setbox0\hbox{$k_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ direkciós erejű rugókra erősített $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test rezgési frekvenciáit!
   
   Útmutatás [mutat]

   Írjuk fel a test mozgásegyenletét mindkét esetben, és határozzunk meg effektív rugólállandókat!
   Végeredmény [mutat]

   $\[\omega=2\pi f=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m},\]$

   ahol

   $\[k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,\]$

   illetve

   $\[\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}\]$
   Megoldás
   
   
8. (6.8.) Határozzuk meg a vízszintes síkon mozgó $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test rezgéseinek frekvenciáját, ha az ábrán látható módon két, elhanyagolható tömegű rugóhoz van kapcsolva (rugóállandók: $\setbox0\hbox{$k_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)!
   
   Útmutatás [mutat]

   Milyen irányú erők hatnak, ha a testet kissé kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből?
   Végeredmény [mutat]

   $\[\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}m}\]$
   Megoldás
   
   
9. (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugóállandójú rugó közé $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, megfeszítve $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $\setbox0\hbox{$l\rightarrow l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határesetet!
   
   Útmutatás [mutat]

   Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!
   Végeredmény [mutat]

   Az effektív rugóállandó

   $\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l,\]$

   ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.
   Megoldás
   
   
10. (6.10.) Síklemez a rajta nyugvó testtel együtt harmonikus rezgést végez a vízszintes síkban. A rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$A=10\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a lemez és a test közötti súrlódási együttható, ha a test akkor kezd csúszni a lemezen, amikor a rezgésidő kisebb lesz, mint $\setbox0\hbox{$T=1\,\rm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
    Útmutatás [mutat]

    A lemezen lévő testet vízszintesen csak a súrlódási erő mozgatja.
    Végeredmény [mutat]

    $\[\mu=0,402\]$
    Megoldás
    
    
11. (*6.11.) Mutassuk meg, hogy egy kúpinga periódusideje ugyanakkora, ha egy kis kör mentén mozog, mint ha síkban kis lengéseket végez!
    Végeredmény [mutat]

    A körfrekvencia négyzete mindkét esetben

    $\[\omega^2=\frac gl\]$
    Megoldás
    
    
12. (*6.14.) Az ábrán látható $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, rugóállandója $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $\setbox0\hbox{$h\rightarrow 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$h\rightarrow l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határeseteket!
    
    Útmutatás [mutat]

    Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!
    Végeredmény [mutat]

    Az effektív rugóállandó

    $\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2},\]$

    ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.
    Megoldás
    
    
13. (*6.16.) Vízszintes lapon álló $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű kiskocsikat $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugóállandójú rugóval kötünk össze. A két kiskocsit széthúzzuk, majd hirtelen elengedjük őket. Hogyan fognak ezután mozogni? (A súrlódástól eltekintünk.)
    Útmutatás [mutat]

    Lássuk be, hogy a két test kitérés-idő függvénye egymás számszorosa, majd ezt használjuk ki az egymásba helyettesítésüknél a két csatolt mozgásegyenletben!
    Végeredmény [mutat]

    $\[\omega^2=D\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}\]$
    Megoldás
    
    
14. (*6.19.) Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$x(t)=3\sin{2t}–\cos{2t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ törvény szerint harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont mozgásának amplitúdóját és periódusidejét!
    Útmutatás [mutat]

    Használjunk trigonometrikus azonosságokat a függvény átalakításához!
    Végeredmény [mutat]

    $\[T=\pi\]$

    $\[A=\sqrt{10}\]$
    Megoldás
    
    
15. (*6.20.) Egyik harmonikus rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$A_1=3\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kezdőfázisa $\setbox0\hbox{$\phi_1=\pi /6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másiké $\setbox0\hbox{$A_2=5\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\phi_2=-\pi /6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora az eredő amplitúdó és az előálló rezgés fázisállandója?
    Útmutatás [mutat]

    Használjunk forgóvektorokat vagy komplex amplitúdókat az összegzéshez!
    Végeredmény [mutat]

    $\[A=7\,\rm{cm}\]$

    $\[\alpha=-8,2^{\circ}\]$
    Megoldás
    
    
16. (*6.21.) Azonos frekvenciájú, egyirányú rezgések összetevésénél az egyik rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$6\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kedzőfázisa $\setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másik rezgés amplitúdója $\setbox0\hbox{$3\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

    a) Mekkorára kell választani a második rezgés kezdőfázisát, hogy az eredő rezgés kezdőfázisa zérus legyen?

    b) Mekkora lesz ebben az esetben az eredő rezgés amplitúdója?

    c) Mekkorára kell a második rezgés kezdőfázisát választani, hogy az eredő amplitúdó $\setbox0\hbox{$7\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen?

    Végeredmény [mutat]

    $\[\phi_2=-90^{\circ}\]$

    $\[A_2\approx5,2\,\rm{cm}\]$

    $\[\phi_2=-53,6^{\circ}\]$

    vagy

    $\[\phi_2=113,6^{\circ}\]$

    Megoldás

    
    

17. (6.24.) Két egyirányú harmonikus rezgés eredője: $\setbox0\hbox{$x(t)=A\cos(2t)\cos(50t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ másodpercekben értendő. Mekkora az összetevő rezgések frekvenciája, és mekkora a lebegés frekvenciája?
    Útmutatás [mutat]

    Alakítsuk át a függvényt trigonometrikus függvények összegére!
    Végeredmény [mutat]

    $\[f_l=0,636\,\rm{Hz}\]$
    Megoldás