„Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a |
|||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </noinclude><wlatex># Határozza meg a ''Schrödinger''-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A Schrödinger-egyenlet megoldása megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán. | + | <wlatex>A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán. |
+ | |||
+ | A Schrödinger-egyenlet | ||
+ | $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$ | ||
+ | aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége. A differenciálegyenletet megoldva a sugárirányú eloszlás | ||
+ | $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{-\frac{r}{n a_0}}, $$ | ||
+ | ahol $A_n$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $1$ legyen. | ||
+ | A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják. | ||
+ | |||
+ | A legvalószínűbb sugarat $R(r)$ szélsőértékhelye adja: | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. május 29., 20:13-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!
Megoldás
A Schrödinger-egyenlet megoldása megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.
A Schrödinger-egyenlet
aminek megoldását alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete () az elektron megtalálási valószínűsége. A differenciálegyenletet megoldva a sugárirányú eloszlás
ahol egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
A legvalószínűbb sugarat szélsőértékhelye adja: